Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
поскольку, как было указано в § 464а, pi(p) < 1 при любом р. Однако с
помощью (3i) легко проверить, что если 0 - некоторое число в интервале
между 0 и 1, то разность
U( -0- р.О) - 1/(0 - р, 0)
равна произведению
- (1 + 02)(1 -02)-10р
и, следовательно, отрицательна. Таким образом,
г/(-о - р, 0) < i/.(0.- р, 0).
Сравнивая неравенства, выписанные в конце двух предыдущих параграфов,
увидим, что неравенство
г/(*1(р),о)<г/(0-р, о)
имеет место при любом 0 в интервале между 0 и pi(p). Следовательно, для
доказательства (15i) при I = 1 достаточно показать, что значение х =
хг(р) лежит между 0 и pi(p). Но это гарантируется в силу (62)
неравенством (14). Отсюда вытекает справедливость неравенства (15i) при I
= 1, а в силу симметрии (см. в конце § 463) также и при 1=3.
§ 467а. Покажем теперь, что функция U(x3(р),0) аргумента р является
монотонно убывающей при 0 < р < 1. Отсюда по соображениям симметрии будет
вытекать справедливость неравенства (152), поскольку тогда ясно, что
функция U{xi (р), 0) аргумента р будет (опять-таки в силу симметрии)
монотонно убывающей в интервале 0 < р < 1.
Таким образом, достаточно показать, что полная производная dU , ч
- функции U(2:3 (р), 0) нигде не принимает положительного
"Г
значения. Однако эта полная производная совпадает со значением частной
производной Up(x, 0) при х = Хз(р), поскольку Ux (х, 0) =0 при х = ?з(р)
по определению (§ 464) величины а:з(р). Достаточно показать, что
Нц(:сз(р), 0) <0 при 0 < р < 1.
440
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
С этой целью положим х равным некоторому значению в интервале (5з). Тогда
в силу (3i)
1 11 X, На:*!3*" | Н",,(х"0)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 -1,0042 -1,0083 -
1,0125 -1,0167 -1,0208 -1,0416 -1,0828 -1,1232 -1,1620 -1,1984
3,0174 3,0356 3,0532 3,0710 3,0898 3,1834 3,3856 3,6086 3,8584
4,1396 -0,087 -0,0178 -0,0266 -0,0355 -0,449 -0,0117 -0,1928 -0,3043
-0,4212 -0,5698
г- Хз II хх I3** ¦ 0) II у у (X!, 0)
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,8481 0,8035 0,7616
0,7401 0,7152 0,6010 0,4381 0,2861 0,1416 0,0000 11,1334 11,7846
12,2500 12,6380 12,9658 14,1750 15,5972 16,4154 16,8588 17,0000 -
4,0667 -4,3923 -4,6250 -4,8190 -4,8)2) -4,5875 -6,2186 -6,7077 -6,9214 -
7,0000
- Хз и*х(*з, о) Uyyfr,. °>
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 1,1468 1,1801 1,2012
1,2164 1,2281 1,2517 1,2710 1,2567 1,2308 1,1484 7,4670 7,1264 6,8144
6,7142 6,5594 6,0134 5,3308 4,8488 4,4640 4,1434 -2,2335 -2,0632 -
1,9472 -1,8571 -1,7737 -1,5067 -1,1654 -0,9244 -0,7320 -0,5715
U = - хг 2
1-р
а:+ р Я+ р - 1
и после вычисления частных производных С/ц, Ux функции U получим
и^-их = -х~ 1
1
этих уравнении, а Uxx (х, 0), Uyy (х, 0) -
х + р - 1
Так как согласно (5з) имеем
0<а:, 0<а:+р - 1<а:+р,
то Uу. - Ux < 0 при всех х в интервале (53). Этим самым доказательство
завершается, поскольку в точке х = ?з(р) ин-. тервала (53) имеем (Jx = 0.
§ 468. В силу (6ft) любые две из трех функций Zft(p), Pft(p), Oft(p)
аргумента р определяют при любом фиксированном к третью. Условие же (10)
вместе с (73) показывает, что каждая из трех функций рь(р) аргумента р
определяется уравнением пятой степени (коэффициенты которого зависят
линейно от р). Значения гй(р), приводимые в таблице на этой странице,
были вычислены на основании соответствующие значения U = U(x, 0), на
основании (3t), (4t), (4j).
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
§ 469. В §§ 463-468 изучалась симметричная поверхность U = U (х, у) §§
462 при любом фиксированном р и вдоль плоскости симметрии у - 0. В
частности, в § 464 было показано, что сечение этой поверхности плоскостью
у - 0 представляет собой
§§ 469-477. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ 447
кривую, выпуклую (снизу) в каждом из трех интервалов (5*) на оси х, и что
функция U (х, 0), обращающаяся в + оо на обоих концах каждого интервала
(5а) , имеет в точках х - Xh (р.) интервалов (5а) минимумы. Относительные
величины этих трех минимумов определяются неравенствами (15i), (152).
Теперь покажем, что при любом фиксированном в (li) - (1г) значении
параметра р, причем 0 < р < 1:
(i) на плоскости (х, у) существуют пять и только пять точек, в которых
касательная к поверхности U = U(x, у) плоскость параллельна плоскости (х,
у).
(и) эти пять точек на плоскости (х, у) следующие:
(х, у)= (ха(р), 0), А: = 1,2,3, (160
(х,у) = (^-р, (162)
причем три точки (16i) - это те, которые были рассмотрены в § 464, а
каждая из двух точек (I62) образует с двумя массами 1 - р и р
равносторонний треугольник;
(ш) матрица Гесса для функции U(х, у) в пяти точках (х, у),
удовлетворяющих условиям Ux - 0 = Uy, равна
где (х, у) = (ха(р), 0), к = 1, 2, 3, и
/U" Uxv\j2if -i 1 - 2р\
W" uj - )t (17.)
где (х, у) = (V2 - р, ±72УЗ) соответственно, причем знаком "+" в (17i)
обозначена положительная, а знаком "-" - отрицательная функция р и к;
(iv) поверхность U = U(x, у) имеет *) в каждой из трех точек (16i) седло
(следовательно, не имеет относительного экстремума), а в точках (162) -
