Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
общее решение системы (15) запишется (см. § 144) в виде
и- CiAu(t)eiat + CzAn{t)e~iat, "i v = C1A21 (t)-(- CzA&{t)e~iat, f
где ^4n(i),..., A&(t) - периодические функции с периодом т, не зависящие
от постоянных интегрирования С\, Cz. Так как требуется рассмотреть лишь
вещественные решения системы (15), то можно записать (16) в эквивалентной
матричной форме (после выделения вещественных частей произведений
CA(t)e±iai)
/ u(t) \ _/он (0 ai2(t) W cosot -sin at\/Ci\
\v(t)J \azi (t) ctzz(f) A sin at cosafAcz/ '
где a(t) - вещественные периодические функции с периодом т, не зависящие
от постоянных интегрирования ci, cz. Заметим, что произведение матриц в
первой части (17) не является вообще периодической функцией t, так как
два положительных числа 2п / т и а не обязательно соизмеримы. Тем не
менее вектор (17) не может приближаться сколь угодно близко к нулю при t
->-±00, если только исключить из рассмотрения тривиальное решение u(t) =
О, v(t) =0 (соответствующее нулевым значениям постоянных интегрирования
Cf, Cz) .
Для доказательства заметим, во-первых, что второй сомножитель в правой
части (17) представляет собой матрицу вращения вектора (ci, cz) и им
можно, следовательно, пренебречь постольку, поскольку нас интересует
только длина (и2 + и2)'1г вектора (и, и). Во-вторых, первый сомножитель в
правой части (17) представляет собой непрерывную периодическую функцию t.
Следовательно, функция u2{t) -j- v2(t) имеет при -оо < t < -f- 00 нижнюю
границу, равную произведению ci2 -j- cz2 на число р, причем р = 0
§§ 478-488. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 461
или Р > 0 соответственно тому, обращается или не обращается непрерывная
периодическая функция detanm(i) при некотором фиксированном to в нуль.
Однако первый случай невозможен. Действительно, det аПт(?) совпадает
тождественно с определителем фундаментальной матрицы, равной произведнию
двух матриц в правой части (17), так что det anm(t) Ф 0 при всех t в силу
§ 138. Следовательно, существует постоянная Р > 0 такая, что
u2(?) + i>2(")^s(ci + cz) р.
§ 486. Из сказанного выше вытекает, что если и - u{t), v = = v(t) -
некоторое вещественное решение уравнений (15), отличное от тривиального
и(?) = 0, v{t) = 0, то для функции w(t) = u(t) -|- iv(t) удовлетворяется
условие | w(t) | > const > О, указанное в § 484. Таким образом, полярный
угол 0 = 0(?) на декартовой плоскости (и, v) допускает разложение 0(?) =
= <о? + ф(?) на вековую и почти периодическую компоненты си(?), ф(?).
Кроме того, среднее движение и частоты функции ф(?) -однородные линейные
комбинации с целыми коэффициентами двух чисел 2л /т, а (которые могут быть
как соизмеримыми,
так и несоизмеримыми). Действительно, из (17) видно, что этот
факт имеет место для частот функции w(t) = u(t) -\-iv(t), поскольку
функции a(t) имеют период т.
§ 487. Возвращаясь к проблеме, поставленной в §§ 482-483а, отождествим
(15) с канонической системой, найденной в конце § 483. Тогда угол 0 =
0(f), определяемый в § 484 по формулам
и = (и2 + v2) '1г cos 0,
v = (и2 + v2) 'Ь sin 0,
совпадает с углом 0 = 0 (?), определяемым согласно (10) § 483, где
(u2 + v2) 7> = ± (ху' - ух') V" т .
Аналогичным образом результаты, изложенные в § 486, относятся к узлу 0 =
0(f) (см. §§ 480-483а).
§ 488. Можно упомянуть, что с формальной точки зрения проблема интеграции
уравнений (15) упрощается после введения полярных координат
0 = arctg -, г = (и2 + v2) и
462 ГЛАВА VI. введение в ограниченную задачу
Действительно, поскольку
uv' - vu! = 7^0', ии' + vv' = rr', то (15) можно переписать в виде
0' = a2i(2)cos20 + {Я22(0 - вц(*)} cos 0 sin 0 - ai2(i)sin2 0, (18i)
(lgr)' = an (t) cos2 0 + {ai2(i) + ви(*)} cos 0 sin 0 + a^Msm2 0.(182)
Заметим, что правая часть каждого из этих дифференциальных уравнений
является периодической как по 0, так и по f, и поэтому ее можно
рассматривать как непрерывную функцию положения на торе (0, t).
Если решение 0 = 0(i) дифференциального уравнения (18i) известно, то г -
r(t) найдется согласно (182) с помощью квадратуры. Заметим, что (18i)
можно записать в виде дифференциального уравнения Риккати относительно
е2*0.
Нетрудно обнаружить, что если уравнения (15) канонические, например
и' = -Kv, v' = Ки,
где К - К{и, v, t)-квадратичная форма относительно и ж и, то (18i)
сводится к уравнению
0' = 2К (cos 0, sin 0, t).
СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
§ 489. В соответствии с изложенным в § 443 ограниченная задача трех тел
может быть представлена уравнениями
х" - 2у' - Ux, у" + 2х' = U у, (It)
где
1 1 - ц
U = о (** + У2) '
2 4 ' | (я + ц)2 + J/211/а
(а: + р - I)2 -(- р2|1/2 '
(1*)
причем начало вращающейся системы координат (х, у) находится в центре
масс двух тел р, 1 - р, имеющих координаты (1 - р, 0), (-р, 0)
соответственно. Следовательно, если начало координатной системы перенести
в точку, где находится масса р, то координаты х, у третьего тела надо
заменить на 5 - х - (1 - р), т] = у.
§§ 489-502. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
463
