Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 172

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 202 >> Следующая

Выполняя такую подстановку в (li) - (1г) и обозначая опять переменные
через х, у (вместо ?, т]), увидим, что уравнения (li) сохранят полностью
свой вид, а функция (1г) заменится следующей:
и = i (1 - р)2 + (1 - и)* + \ (*2 + у2) +
+ (1 - р) (1 + 2х + *2 + + p(z2 + у*)-'А. (2)
Тела с массами р, 1 - р будут иметь теперь координаты (х, у) = (0, 0),
(z, у) = (-1, 0)
соответственно.
Следующие ниже соображения относятся к случаю, когда порядки
встречающихся расстояний и масс такие же, как и в задаче, в которой р
обозначает Землю, 1 - р - Солнце, а третьим телом с координатами (х, у)
является Луна.
§ 490. Предположим, что третье тело движется в области, точки которой
более или менее близки к неизменному положению (0,0) тела р, и что
поэтому можно пренебречь в (li) всеми членами, имеющими по крайней мере
второй порядок относительно (z2 + у2)'А, т. е. относительно |z| + |у|.
Тогда мы должны отбросить в (2) те члены, которые имеют по крайней мере
третий порядок относительно | х | +1 у |. По формуле для бинома мы
получим тогда, что
(l+2z+z2+y2) -и = 1 -1 (2* + z2 + у2) +1 (2z+ ...)2 - ...
Л о
Подставляя это выражение в (2), увидим, что с требуемой точностью
аппроксимации
U = const + ^ р (z2 + у2) +1 (1 - р) z2 + р (z2 + у2) -'А, (3)
1
const = (1 - р)2 + 1 - р.
§ 490а. Выбор единиц в §§ 489-490 такой же, как и в § 441. Эти единицы
связаны, однако, с третьим законом Кеплера (см. § 276). Поскольку этот
закон теряет свою силу после перехода от (1г) пли (2) к приближенному
выражению (3), необходимо рассмотреть этот вопрос непосредственно.
С этой целью изменим единицы расстояния, массы и времени в пропорциях 1 :
а, 1 : р, 1 : 1 соответственно, причем аир - произвольные положительные
постоянные. Другими словами, подста-
4б4 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
ним (3) в (li) и заменим х, у, р, 1 - р на ах, ay, (ip, {1(1 - р)
соответственно. Разделив после этого все члены на а, придем к уравнениям
х" - 2 у' = Ppz + Зр(1 - р)л: - а~3$х(х2 + г/2)_3/%
у" + 2х' = Ррр - сг-3Рг/ (х2 + у2)
§ 491. Эти уравнения эквивалентны, конечно, уравнениям (li) в случае (3),
и поэтому в § 490а сохраняется предположение, сделанное в § 490, а именно
то, что третье тело движется в области, более или менее близкой к первому
телу, находящемуся в точке (х, у) = (0,0) и имеющему в выбранных единицах
массу pp. Предположим теперь, что масса Рр очень мала по сравнению с
массой р(1 -р) второго тела. Тогда, поскольку |;г| и |р|, по
предположению, малы, уравнения, выписанные в конце § 490а,
аппроксимируются следующими:
х" - 2у' ~ Зр (1 - у)х - а~3$х(х2 + у2)~\
у" + 2х' = - а-зр у (х2 + I/2)"3/а.
Очевидно, последние уравнения можно записать в виде (li), если положить
U = | Р (1 - ") & + а-зр (х2 + у2) -V*.
Определяя далее единицы расстояния и массы, оставшиеся после введения в §
490а множителей а, р произвольными, с помощью условий
а = (1 - р)-'/з, р = (1 - р)-1, запишем U в виде
U = - х2 + (z2 + у2) (4)
2
§ 492. Используя интерпретацию, данную в конце § 489, можно сказать, что
дополнение в § 491 к условию, принятому в § 490, эквивалентно в силу
третьего закона Кеплера предположению о том, что расстояние между Землей
и Солнцем очень велико. В то же время согласно предположению в § 490
расстояние между Луной и Землей относительно мало. Следовательно, исполь-
еуя терминологию теории Луны, скажем, что при переходе от (3) к
приближенному выражению (4) пренебрегают параллаксом Солнца и что это не
имеет места при аппроксимировании функции
(12) выражением (3). При переходе от (3) к (4) пренебрегают, однако,
вторыми и более высокими степенями этого параллакса.
§§ 489-502. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
465
Разумеется, параллакс может быть грубо определен как отношение между
расстояниями Луна - Земля и Земля - Солнце.
§ 493. Уравнения (li), где U определяется формулой (4), лежат в основе
современной теории Луны. Эта задача с двумя степенями свободы называется
задачей Хилла и представляет предельный случай ограниченной задачи трех
тел.
С аналитической точки зрения различие между уравнениями кида (It), в
которых функция U выражается формулой (3) или
(4), едва ли ощутимо. Вместе с тем единственное формальное различие между
(3) и (2) состоит в том, что (2) имеет две особые точки (х, у) = (0, 0) и
(х, у) = (-1, 0), а (3) имеет лишь одну особую точку (х, у) = (0, 0).
Поэтому большинство из главных математических проблем общего характера,
которые возникают для уравнений (1*) в случаях (1а) или (2), остаются
также и в случае (4). В последнем случае
х" - 2у' = Ux, у" + 2х' = Uу (50
и
±(x'* + y'*)-U(x,y)=-~C, (52)
где соотношение (5г) представляет собой интеграл энергии уравнений (50,
причем постоянная С называется, как и в случае, рассмотренном в § 443,
постоянной Якоби.
Тот факт, что функция (4), выписанная в (50 и (5г), имеет лишь одну
особую точку (х, у) = (0, 0), соответствующую положению Земли,
позволяет исключить особенность в (50 (обусловленную членом
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed