Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Удобно рассматривать U -U(ж, у) как поверхность, расположенную над
плоскостью (ж, у) в пространстве (ж, y,U). В соответствии с (li) - (I2)
различным р соответствуют различные поверхности U - U(x,y). Мы исключим
предельный случай р = О, так что 0 < р < 1.
Из (li) - (I2) видно, что координата U рассматриваемой поверхности всюду
положительна и делается равной +00 только в точках, занимаемых двумя
массами:
соответственно, а также стремится к +°° при ж2 + у2-* +00-Кроме того, эта
поверхность симметрична относительно плоскости у = 0, так как U(ж, у) -
U(ж, -у) согласно (li) - (I2) -Эта плоскость пересекает потенциальную
поверхность U - = U (ж, у) по кривой U =• U (ж, 0), располагающейся над
осью ж, т. е. осью сизигий. Ниже (до § 468) мы будем рассматривать только
эту сизигийную потенциальную кривую (с учетом, что она лежит на
поверхности, поскольку будет изучаться также функция UVy(x, 0) от ж).
§ 463. С помощью (li) - (I2) легко проверить, что
СИЗИГИЙНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ КРИВАЯ
и(х> у) = у (z2 + У2) + ( 1 - Р)Р-1 +
(10
1 -р: (ж, у) = (-р, 0),
р: (ж, у) = (1 - р, 0)
(20
(20
|ж + р - 1|
_ 1 ^ | ж -f- р - 113
(30
(ад
440
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
И ЧТО
Uxx(x,0) = 1 + ^-+ /- > (4i)
- р3 - а3 2V 2
ит(х, 0)=1-----------------------------------(4г)
р6 О
иу(х,0) = 0^иху(х,0), (4Я)
поскольку (1г) сводится к
р = \х + М-1, о = \х + И- - 11 -
При этом (43) является очевидным следствием соотношения U(x,y) = U{xy -
у).
Заметим, что две точки (2t) - (2г) делят ось х на три области
-оо < х < - p., (5i)
- р, < х < 1 - р, (52)
1 - р<а:<+°°. (5з)
внутри которых
р = - (р + г), о-р = 1, (6i)
р - р + я. о + р = 1, (62)
р = р + Я. р - 0=1 (6s)
соответственно.
Формулу (Зг) можно записать в областях (5i), (52) в виде
П1(х,0)=-р-р + -1-=^-+ ^ - , (70
Рг (1 + р)2
ux (X, 0) = - р + р ^ + тг^2 (72)
Р2 (1 - Р)2
соответственно. Выражение для Ux (х, 0) в области (53) получим из
(7i), заменяя 1 - р, р, о, Ux на р, о, р, -Ux
соответственно.
В силу такой симметрии всегда достаточно рассматривать лишь первые две
вместо всех трех областей (5i) - (53) изменения х.
§ 464. Мы покажем теперь, что при любом фиксированном значении
положительного параметра р(< 1) функция (32) переменной х имеет в каждой
из трех областей (5/,) один и только один нуль
§§ 462-468. СИЗИГИЙНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ КРИВАЯ
441
х = Xh, являющийся, конечно, функцией хл(р) параметра р. Кроме того, мы
покажем, что
так что расстояние между любой из трех точек (х, у) = = (хь(р),0) на оси
х и по крайней мере одним из двух тел Pi, Р2 меньше, чем расстояние между
Pi и Р2, равное единице. Другими словами, если р* = Рл(р), о* = <Тл(р) -
расстояния (12) от точки (х, у) = (xft(p), 0) до Pi и Pz, то все три min
(р*, ah) < 1, к = 1, 2,3, при любом р.
Во-первых, 0 <Г р <Г 1, так что производная (4t) положительна при любом
х. Следовательно, функция (3z) переменной х является возрастающей при
любом х. Однако эта функция обращается в бесконечность в двух точках
(2j), (22). Так как последние делят ось х на три области (5ft), то
функция Ux (х, 0) является монотонно возрастающей непрерывной функцией в
каждой из этих областей. Вместе с тем Ux(x, 0) стремится к -с" или -(-оо,
если х стремится к нижнему или верхнему концу каждого из интервалов (5л)
соответственно. Действительно, (Зг) показывает, что
Следовательно, Ux(x, 0) принимает в каждом из трех интервалов (5й) любое
значение между - оо и +°°, в частности нуль, один и только один раз. Этим
самым доказано существование и единственность трех Xft == Xft(p).
Из этого доказательства видно, что если х принадлежит какому-либо
интервалу (5ft), то Ux(x, 0) 0 0 при х0 хк(р) соответственно. Отсюда
вытекает, что точка х = х*(р) делит каждую область (5ft) на две
подобласти, причем силовая функция U (х, 0) монотонно убывает в первой и
монотонно возрастает во второй из них. Другими словами, положительная
функция (3i), обращающаяся в +сх> на обоих концах любого из интервалов
(5ft), имеет при х = Xft(p) минимум и выпукла (снизу) в этих интервалах.
Поэтому для доказательства того, что точка x = Xi(p) интервала (5])
удовлетворяет неравенству (81), достаточно показать, что Ux (x, 0) <0 на
конце х - -1 - р интервала (8j). Однако это условие удовлетворяется,
поскольку в
-1 - р < хДр) < - р
-р < х2(р)< 1 - р, 1 - р < х3(р) < 2 - р,
(81)
(82)
(83)
их(±°о, 0) = ±°°,
их( - р + 0, 0) = +оо,
Ux{ 1 - р, ±0,0) - =Foo.
442 I'JIABA VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
соответствии с (Зг)
Ux (-1 - р, 0) = - -р.
Этим самым (8i) доказано. Условие же (8Э) эквивалентно (8i) согласно
сказанному в конце § 463. Наконец, неравенство (82)
автоматически вытекает из того, что х - я2(р) лежит в интерва-
ле (5г). Этим самым завершается доказательство трех неравенств inin (рь,
Ok) < 1, к = 1, 2, 3, которые эквивалентны неравенствам (8*) , к = 1, 2,
3.
§ 464а. Как следствие, получим, что при всех Аир,
Uyy (xft (р), 0) <С 0, (9i)
-Ц^-+4>1. (зд
о3 О3
