Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
?= (-a;sin0-f- у cos 0)i, ?' = (-х' sin 0 + у' cos 0) i, (9)
458
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
где х, у и, следовательно, х', у' - функции ?, определяемые согласно (7).
Отсюда вытекает, что, исключая тривиальное решение ?(?) =0 уравнения (8),
можно заменить дифференциальное уравнение второго порядка (8)
относительно ? системой двух дифференциальных уравнений первого порядка
относительно 0 и i. Действительно, из (9) и (4) видно, что якобиан
перемепных (?, ?') по отношению к (0, i) обращается в нуль тогда и только
тогда, когда i == 0. Однако если функция i = i(?) обращается при
некотором t - to в нуль, то в силу (9) также ? = 0, ?' = 0. Но решение
уравнения (8), отвечающее нулевым начальным условиям ?(fo) = 0, ?'(f0) =
0, равно ?(*) = 0.
§ 483. Для тою чтобы перейти от (8) к уравнениям относительно эйлеровых
углов 0, i, целесообразно заменить 0, i их комбинациями
и = (ху'- ух'),/j i cos 0, v = {xy' - ух') Ч' i sin 0 (10)
при условии, что отличная от нуля непрерывная функция (4) от t
положительна. Изменения, которые следует ввести в (10), если функция (4)
отрицательная, очевидны. В соответствии с (10) можно записать (9) в виде
p = (xy' - yx')-'k(yu - xv), 1
q = (xy'-yx')-'b(y'u-x'v), J (И>
где ? = р, ?' = q. Однако последние формулы определяют линейное
преобразование (и, v) в (р, q) с коэффициентами, равными согласно (7)
заданным функциям от t, и определителем, равным единице при любом t. Из §
40 следует, то формулы (11) выражают каноническое преобразование с
множителем, равным 1. Вместе с тем можно переписать (8) в виде линейной
канонической системы с одной степенью свободы и функцией Гамильтона
B(p,q,t)=-*q*-lf(t)p\ (12)
представляющей собой квадратичную форму. Подвергая эту систему линейному
каноническому преобразованию (11), получим для и, v линейную каноническую
систему, функция Гамильтона которой представляет собой квадратичную форму
К(и, v, t) = Н плюс остаточная функция. Наконец, явное выражение этой
остаточной функции может быть получено из (11) и (4) с помощью правила
(17j) - (17г) § 38.
§ 483а. В теории Луны рассмотренное уравнение Якоби (8) или эквивалентная
каноническая система, в которых опорное плоское
§§ 478-488. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАНА
459
решение (7) является периодическим, представляет особый интерес (см. ниже
§ 517). Этот случай будет исследован в последующих параграфах.
§ 484. Анализ будет опираться на теорему относительно комплексной функции
и + iv =е w = w(t) вещественной переменной f, принимающей комплексные
значения и являющейся почти периодической в смысле Бора. Предположим, что
функция w(t) удовлетворяет при всех -оо < t < +°° условию j w(t) |> с,
где с - некоторая положительная постоянная. Тогда функция w(t) j \ w{t)\
будет почти периодической, равной по модулю 1 при всех f и с частотами,
содержащимися в полном спектре частот функции w(t). Положим
(13)
так что 0 (f) - вещественная функция, которая может быть выбрана
непрерывной и которая определяется после нормализации к некоторому
промежутку, например 0 ^ 0 (0) < 2л, единственным образом.
Таким образом,
0(f) = arg w(t), (14)
где w - и iv, так что (и2 + и2)1/1 и 0 суть полярные координаты на
плоскости (и, v). Упомянутая выше теорема утверждает, что существует
единственная вещественная постоянная со и единственная вещественная почти
периодическая функция rj)(f), для которых 0(f) = raf + ф(?), и что
частоты функции i|)(f) содержатся в полном спектре частот почти
периодической функции охр 10(f) =¦w(t) / [ w(t) |. Доказательство этой
известной общей теоремы мы приводить здесь не будем.
Коэффициент ш "вековой" части cot функции 0(f) называется средним
движением*) 0(f). Разумеется, со, а также ф могут обращаться иногда в
нуль. Очевидно, что если тр (f) -некоторая вещественная почти
периодическая функция и со - некоторая
*) Происхождение этого названия объясняется тем, что если 0 = 0(f) -
абсолютно непрерывная функция и если 8(t) It стремится при t-*-oo к
конечному пределу со, то, поскольку
1 ? 0(Л - 6(0) 0(0
lim -ip \ 0' (0 Л = Нт ---(tm)------= lim ~тр- - о,
Т-*оо j Т-*оо Т-.оо
о
аз представляет собой среднюю скорость изменения угла 0(<)- По
терминологии же, применявшейся в 17 и 18 столетиях, под движением
подразумевалась скорость. Таким образом, "среднее движение" = "средней
скорости".
460
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
постоянная, то ехр г'0(г), где 0(f) - tot + "ф (^), также представляет
собой почти периодическую функцию.
§ 485. Рассмотрим произвольную линейную систему
и' =au(t)u + aa(t)v, j v' = a2i(t)u + an(t)v, J
где заданные коэффициенты a(t)-непрерывные вещественные функции, имеющие
общий период, например т. Предположим, что оба характеристических
показателя для этой системы принадлежат к устойчивому типу, т. е. что они
равны ±га, где а - вещественная постоянная, определяемая в зависимости от
a(t). Тогда группа монодромии не имеет кратных элементарных делителей, и
