Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(х, у) = (-р, 0) функции (5z) и уравнений (61) после преобразования х -\-
iy = -р -\- tf. Другими словами, изоэнерге-тический переход от (6i), (6z)
к (10t), (9t) исключает, как и ожидалось, особую точку, соответствующую
положению массы 1 - р.
§ 448. Для анализа поведения траектории х = x(t), у = y(t) в момент t ='
t0 столкновения с телом 1 - р зададим при фиксированном начальном
значении независимой переменной t, например t. = 0, четыре начальных
значения go, т)о, 1о, Цо так, что go, т)о соответствуют положению (0,0)
тела 1 - р, a go, Ло удовлетворяют интегралу энергии (9i). Тогда
при выбранной соответствующим образом постоянной у, которая остается
произвольной. Постоянная энергии (7s) является другой постоянной
интегрирования, поскольку она входит явно в силовую функцию (11).
Координаты траектории g = g(г), т) = т) (?) можно разложить в силу их
аналитичности в ряды по положительным степеням I, сходящиеся при малых
111, т. е. для всех моментов, достаточно близких к моменту I = 0
столкновения. В силу (13) эти ряды Тейлора начинаются с членов
так что, поскольку х = -р + g2 - т)2, у = 2gi) (см. § 447),
go = 0, т)0 = 0,
go = (8 - 8р) 7" cos у, т)о = (8 - 8р)l/l sin у
(13)
(0<р<-1)
(14)
х - - р + [8(1 - p)cos 2y]-tz + ..., у = {8(1 - p)sin2y]-f2 + ...
Кроме того, в силу (14) имеем
р + ,,* = 8(1 _,*)(> +
(15)
§§ 446-461. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
433
так что в соответствии с (Юг)
32
* = -(1 -p)i3 + .-- (0<р<1), (16)
если положить t = 0 при t = 0.
§ 449. Из (16) видно, что функция t = t(t) обладает в окрестности момента
столкновения t = 0 единственной обратной функцией t = t{t), которую можно
разложить при малых / ^ 0 в вещественный степенной ряд по степеням yj ^
0. Подставляя это разложение Пюизо функции t = t(i) в (15), видим, что
особая точка для координат х - x(t), у = y(t) в момент t = 0 столкновения
имеет такой же характер, как и в § 269 (или в § 414). В частности,
формулы (15) -(16) дают униформизацию координат x = x(t), y = y(t) при t
= 0. Такпм образом, движение определяется для моментов t, следующих за
моментом столкновения t = 0 с помощью вещественного аналитического
продолжения.
§ 450. Так как 1 - р > 0, то из (15) также видно, что траектория на
синодической плоскости (х, у) имеет в момент столкновения точку возврата.
Другими словами, тело Р достигает тела Ри находящегося в точке (х, у) -
(-р, 0), двигаясь по определенному направлению, и отражается далее от Pi
в том же направлении. Это направление определяется произвольной
постоянной интегрирования у, входящей в формулы (13).
§ 451. Из §§ 448-450 видно, что для отображения х -f- iy - z (?) является
существенным не его явное выражение х + iy = -р + ?2, но именно тот факт,
что особая точка (х, у) = (-р, 0) функции (5г) отображается с помощью
преобразования, обратного к х + iy = z(?), в точку (?, т)), в которой
производная zs(?) однозначной регулярной функции z (?) = z(? + щ) имеет
нуль первого порядка (это значит, что отображение z(?) перестает быть
конформным, причем углы удваиваются). Аналогичное замечание относится и к
особой точке (х, у) = (1 - р, 0) функции (5г). Поэтому, если
преобразование z = z(?) выбрано в соответствии с (31) § 56, то
регуляризируются обе особые точки, и можно использовать одни и те же
переменные ?, ц, t в случае столкновения с любым из тел р и 1 - р.
Действительно, производная г* функции (31) § 56 обращается в нуль (имея
первый порядок малости) тогда и только тогда, когда (g, Т]) =.(0,0), (±я,
0), (±2я, 0), ...; и все эти точки отображаются с помощью (31) § 56 лишь
в точку (х, у) = (-р, 0) или (х, у) - (1 - р, 0).
28 А. Уинтнер
434 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
Чтобы получить явное выражение для (8j) - (82) в случае отображения (31)
§ 56, заметим, что в силу (32г) § 56, а также (82)
Ы2 = -^-(сЬ2т] - cos2?), (170
t= Ы2 (17z)
и что подстановка (17i) и (52) в (9г) приводит в силу (30) -(34) § 56 к
выражению
U = -^-(сЬт] - (1 - 2ц) cos ?) +
?
+ ^г(1 - 2ц + Ц2 - С) (ch 2т] - cos 21) + (сЬ4л - cos 4?) + 16 2Ьо
1
-J (1 - 2[л) (сЬЗл cos| - сЬл cos3^). (18)
64
Подставляя далее (17d) и (18) в (81), (9i), мы и получим в явном виде
уравнения движения при любом фиксированном С. Заметим, что функции (17j)
и (18) - регулярные аналитические
на всей плоскости (?, л)-
§ 452. В случае двух равных масс (р = '/г) выражение (18) упрощается и
переписывается в виде
U = -^-сЬл +^-(1 - 4С) (ch 2л - cos 2?) +
Z о4
+^(сЬ4т) ~cos4?)- (18а)
256
Численные расчеты, выполненные на копенгагенской обсерватории для этого
симметрического случая pt = 1 - р, опираются на уравнения (8i), (9i), где
и U определяются согласно
(17i) и (18а).
§ 453. Из изложенного в начале § 451 видно, что отображение (25) § 55
можно использовать для той же цели, что и (31) § 56. Представления U и
|z^[2 в случае (25) § 55 имеют по сравнению с (18) и (17j) то
преимущество, что они приводят к алгебраическим, а не к трансцендентным
функциям. Соответствие между (х, у) и (?, л) будет тогда двузначным
