Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 167

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 169 170 171 172 173 .. 202 >> Следующая

р, а Вл3 - очень большая замкнутая кривая, близкая к окружности с центром
в начале координат. Область Р/, на плоскости (х, у), определяемая
неравенством U (я, у) > -й, будет состоять из трех отдельных подобластей,
заключенных внутри Вл1, Вл2 и вне Вл3 соответственно. Согласно § 471
описанная топология не изменяется, если -й, не будучи очень большим,
превышает значение U2, соответствующее седловой точке с наибольшей
аппликатой.
Применяя к данному случаю соображения, изложенные в § 372, можно сразу
сделать вывод *) о том, что произойдет при прохождении -h через
последовательные критические значения ?/2, ?/3, ?Л, Ui( = U5). Ситуация
иллюстрируется схематически рисунками 14, а, б, в, г, которые
соответствуют четырем упомянутым в конце § 471 интервалам значений /г.
Заштрихованные области - это области N/i, а их границы - кривые Zh.
Область Ph исчезает в симметричном случае р, = Уг-Рис. 14.
§ 473. Сопоставляя (62) § 443 с изложенным в § 167, видим, что Z_>/,с
представляет собой кривую нулевой скорости, соответствующую заданному
значению постоянной энергии (75) § 443, и что N_%с - область на
плоскости (х, у),
запрещенная для любой интегральной кривой, соответствующей
заданному значению постоянной Якоби С. Если й = -У2С меньше
положительного числа 1/г(3 - р-(-р2), упомянутого в конце § 469, то N_' с
- пустое множество (см. конец в § 471), так что
*) Детали анализа те же, которые даны ниже в § 496.
§§ 409-477. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
451
область возможного движения, если судить по интегралу энергии, охватывает
всю плоскость (х, у).
Здесь применимы общие результаты, изложенные в §§ 167- 170 и в §§ 238-240
(надо сказать, что они были впервые установлены именно в связи с
ограниченной проблемой трех тел).
§ 474. Легко исследовать равновесные решения ограниченной задачи трех
тел, т. е. решения вида x{t) ^ а = const, y(t) = b = ='const. Очевидно,
что необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяют две
постоянные а, Ь, следующие:
Ux{x,y) = 0, Uy(x,y) = 0,
если (х, у) == (а,Ь). Поэтому из (i) - (ii) § 469 следует, что независимо
от значения р, (0 < р. < 1) существует пять и только пять равновесных
решений, причем соответствующие пять пар точек (х, у) = (а, Ь) - это
точки (16i) и (I62).
Заметим, что эти равновесные решения представляют собой предельные случаи
равновесных решений в неограниченной задаче п = 3 тел (§ 380),
получающиеся при стремлении массы одного тела к нулю. В частности, три
уравнения пятой степени, соответствующие (10) и (73), получаются из (11)
§ 358, если положить одно из mi равным нулю. Аналогичным образом
рассуждения, приводимые ниже в §§ 475 и 476, соответствуют §§ 381 и 382
соответственно.
§ 475. Если обозначить через (а, Ь) одну из пяти точек (16i) - (I62), а
через g = {;(*), т) = tj(?) - смещение по отношению к
решению x(t) = a, y(t) = Ъ уравнений (61) § 443, то
соответст-
вующие уравнения Якоби (см. § 86) запишутся в виде
- 2tj/ = [/**? + Uxyi\, j (lg)
ц" + 2Г = Uxyl + иууц, \
где
/ Uхх Uxy N = / Uxx (a, b) Uxy(a, Ь) \ _
\Uxy Uyy' \Uxy(a,b) Uyy(a,b) )
Для того чтобы получить в каком-либо из пяти случаев четыре
характеристических показателя s с помощью процедуры, упомянутой в § 89,
требуется определить такие числа s, что уравнения (19) допускают решение
вида
? = Aest, т] = Best,
29*
452
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
где А, В - выбранные соответствующим образом постоянные, не равные обе
нулю. Следовательно, четыре характеристических показателя s определяются
из уравнения
' "2 - Uxx -2s - Uxy
0 =
2 s Uxy s2 UyV
I Uxx Uxy
^?-(Uxx-Uvv-i)S*+ \ xx v , (20)
I Uxy Uyy
представляющего собой квадратное уравнение относительно s2. Обозначая
через (-) некоторое отрицательное, а через (?) некоторое вещественное
число (каждое из которых зависит от фиксированного значения р.),
перепишем (20) на основании (17i) -
(172) в виде
s4+(?)**+ (-) =0, (21,)
"Ч-в* +|*(1-¦(*) = 0, (212)
4
причем (21,) относится к случаю, когда точка (а, Ь)
представляет
собой одно из коллинеарных либрационных решений (16,), а
(212) - к обеим треугольным точкам либрации (162).
§ 476. Рассматриваемые два случая отличаются друг от друга:
I) Для любого из трех коллинеарных равновесных решений (16,) и для
любого р четыре характеристических показателя s =
= s(p) имеют вид s = ±а, s = ±ф, где а и Р - положитель-
ные функции р. Таким образом, четыре числа s всегда различны и никогда не
бывают все устойчивого типа (см. § 89).
II) Для любого из треугольных равновесных решений (16г) возможны три
случая, имеющих место тогда, когда масса одного из двух тел составляет:
а) больше, б) точно и в) меньше чем 100('/2 + 7"У69) процентов общей
массы 1 - р -(- р = 1 обоих тел соответственно. (Указанный предельный
процент, хотя и ниже, чем в (II) § 382, но все же несколько превышает
96%.) В первом случае все четыре s = s(p) устойчивого типа и различны. В
третьем случае все s = s(p) неустойчивого типа, причем все четыре
Предыдущая << 1 .. 161 162 163 164 165 166 < 167 > 168 169 170 171 172 173 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed