Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
должно стремиться к конечному пределу при t -"- +0. Вместе с тем,
рассматривая отклонение решения уравнений (61) от решений уравнений (22t)
в предположении, что x2(t) + y2(t) -*¦ +00 при ? ->-[-0, и используя
оценки, получаемые на основании обычного процесса последовательных
приближений, приходим сразу к выводу, что также x2(t) + y2(t) -*¦ +00 при
?->-+0. Это противоречие и показывает, что x2(t) + y2(t) не может
стремиться к +°° при t-*¦ +°°-
§ 458. Сравнивая между собой результаты, изложенные в §§ 457 и 456, и
используя опять (20) - - (222), увидим, что не только lim + У2(0Ь но
также и lim {x2(t) + y2{t)} остаются ограниченными при ?, стремящемся к
конечному ?0, например к ?о=0. Другими словами, пока t изменяется в
конечном промежутке, координаты x(t), y(t) для любого решения
ограниченной задачи трех тел должны оставаться ограниченными *).
§ 459. Рассуждения в §§ 456-458 опираются на молчаливое предположение о
том, что внутри рассматриваемого промежутка изменения t нет столкновений.
Однако все остается справедливым и без такого предположения.
Доказательство заключается в следующем.
Согласно изложенному в § 449 существует единственное аналитическое
продолжение движения в момент столкновения. Сопоставляя этот факт с
другими, упомянутыми в конце § 456, видим, что если моменты столкновений
не имеют конечную точку сгущения t = t*, то движение определено при -оо
<; t < +°°. Вместе с тем мы покажем, что такое конечное t* не существует,
т. е. что моменты столкновений, если они вообще существуют, образуют или
конечную последовательность точек на оси t или же бесконечную
последовательность, стремящуюся к ±°о (возможно, только К +СЮ или только
к - оо).
х" - 2у' - х = 0, у" + 2х' - у - 0, хп + уп = х2 + у2-С.
(22i)
(22.)
*) Как видно из примечания s § 186, этот факт сам по себе не очевиден.
43S
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
§ 460. Предположим, что данному решению x = x(t), у = y(t) уравнений (61)
соответствует движение, сопровождающееся бесконечно большим числом
столкновений в конечном f-интервале, причем точка сгущения t* =/= ±00
моментов столкновений находится на конце интервала. Обозначим моменты
последовательных столкновений через ?i, tz,..., так что tn > tn+i, п = 1,
2,..., и пусть ?п->0 при л-> оо. Таким образом, ?* = 0, и в интервале
между t = tn и t =¦ tn+1 столкновений нет.
В соответствии с (19) при любом t = 1п обращается в нуль или ri(t), или
rz(t), так что согласно (20) p(fn) = 0. Так как tr, +0 при га->оо, то
получим, что lim р (?) =0 при непрерывном стремлении t к +0. Рассуждая
далее так же, как и в начале § 456, увидим, что если lim р (?) = 0, то и
lim р (?) =0 при непрерывном стремлении t к +0.
Следовательно, повторяя рассуждения, приводившиеся в §§ 456-458, получим,
что если t стремится к +0 непрерывно, то или lim ^ (t) = 0, или Jim r2
(t) = 0. По причине симметрии достаточно рассмотреть первый из этих двух
случаев (исключающих друг друга в силу (19)). Однако если lim r{(t) = 0
при ? ->-f-0, то уравнения и формулы (10i) - (12) вполне применимы при t
= 0. Следовательно, § 449 показывает, что функция Л = ri(t) обладает при
t = 0 алгебраической особой точкой. Поэтому эта функция не может достичь
нулевого значения в моменты ?, для которых t = 0 является точкой
сгущения. Однако этот вывод противоречит предположению о том, что р (tn)
=0 для бесконечно большого числа моментов tn вблизи точки сгущения t = 0.
Такое противоречие и доказывает справедливость утверждения,
сформулированного в конце § 459.
§ 461. Полученные выше результаты можно резюмировать следующим образом.
Любое решение х = x(t), у = y(t) ограниченной задачи трех тел существует
при -00 < t < +00, причем вещественные конечные особые точки обязательно
соответствуют столкновениям инфинитезималъного тела с одним из двух тел 1
- ц и ц. Действительно, движение допускает (см. § 449) единственное
вещественное аналитическое продолжение в момент столкновения (если
таковые имеются). Если же имеется бесчисленное множество последовательных
столкновений (в моменты tn), то | tn \ -у- оо при п ->- оо согласно §
460.
Отсюда вытекает, что при всех -00 < t < -f 00 допустима регуляризация
произвольного решения х = x(t), у = у(t) ограниченной задачи трех тел с
помощью переменных, рассмотренных в § 459 или в § 453. Также видно, что
поскольку моменты
§§ 462-468. СИЗИГИЙНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ КРИВАЯ
439
столкновения tn не могут иметь конечную точку сгущения, то ре-
гуляризованное время t = t (t), определяемое согласно (82) с точностью до
аддитивной постоянной, изменяется от -оо до +°° в случае обоих
отображений z = z(?), указанных в §§ 451 и 453.
§ 462. Следующие параграфы (до § 473) посвящены изучению силового поля,
создаваемого совместно центробежными и гравитационными силами. Это
силовое поле описывается 2-вектор-функцией, компоненты которой равны
Ux(x,y), Uy(x,y), причем в соответствии с (5г) § 443
p = |(* + i-02 + yTs <т = |(* + ц-1)* + 0ТА- (1*)
