Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Двухлинзовые системы с малым относительным отверстием, как например, астрономические объективы, могут иметь очень совершенное исправление в отношении сферической аберрации. Примером может
§ 117. Сферическая аберрация « некоторых частных случаях 391
служить двухлинзовый объектив со следующими конструктивными элементами:
л = t 743.9743 d{ = 6.9 г,.- “ — 375.1744 d, = 0.0 г.—- — 380.3022 d, = 4.5 /¦4=-ь 2110.69
Продольная сферическая аберрация объектива характеризуется следую щнми числами:
h\ s' о.ч4'
0 1194.288
20 V 2”^ 28.28 1194.284 —0.004
40.0 1194.277 —0.011
Для того чтобы в этом случае обнаружить существование сферической аберрации, необходимо выполнить тригонометрические расчеты при помощи семизначных таблиц.
У сложных систем, подобных объективам для микроскопов, возможны кривые более сложного вида с двумя или тремя пересечениями оси ординат; в таких случаях в разложениях сферической аберрации члены высших порядков 6-го, 8-го и т. д. не могут быть отброшены.
щ= 1.5399
п„=1 /' = 1200; 2 =80
Относит, отверстие: 1:15
и, = 1.61726
392 Глава X. Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
§118. Поверхность волны в каустическая поверхность для точки на оптической оси системы
Мы видели, что продольная сферическая аберрация Ss' может быть с любой точностью представлена многочленом с четными степенями переменной; имея такое выражение, легко написать уравнение луча, вышедшего из оптической системы. Для этого удобно в качестве переменной для разложения §s' в ряд принять тангенс угла и', образуемого лучом с осью; назовем этот тангенс буквой и, т. е.
u~tgu\ (118,1)
За начало координат принимаем точку О (рис. 205), в которой сходятся параксиальные лучи (гауссово изображение), ось х-ов направляем вдоль оптической оси. Расстояние OS', равное bs', есть продольная сферическая аберрация; согласно предположению:
§s'-”9(u), (118, 2)
где о целая функция четных степеней переменной и (— tg и').
Обовначая координаты какой-нибудь точки луча буквами сиг, находим уравнение луча в талом виде:
Т. = (9 ~1)и. (118,3>
Это уравнение определяет конгруенцию лучей в плоскости, а следовательно и в пространстве в силу симметрии, в зависимости от единственного параметра и.
Найдем уравнение поверхности волны MN на рис. 205, т. е. поверхности, ортогональной всем прямым конгруенции (118,3),
В силу симметрии уравнение поверхности можно написать таким образом:
*=/<*)¦ (П8,4)
Уравнение нормали к этой поверхности в точке с координатами х л у имеет вид:
т,—у=—^ (?-*);
§ 118. Поверхность волны и каустическая поверхность для точки на оси 393
оно должно тожественно совпадать с уравнением луча (118,3). Сравнивая оба уравнения находим:
1
U --- -у—
dg
dx
dy
(118,5)
Отсюда приходим к следующему дифференциальному уравнению поверхности волны:
dx dx \ dx /
Вводим новую переменную г:
(118,7)
Дифференцируя уравнение (118,6), находим:
dy = zdx =¦ — ~ dx -н-nj- dz н--^— dz.
Для сокращения вводим обозначение Ф формулой:
ф = (118,8)
'I'—известная функция z, для получения которой в силу первого из уравнений (118,5) в известное выражение <р(ы) подставляем вместо и
равное ему -- и выполняем дифференцирование. Итак, приходим к уравнению:
- -П—-V = (118,9)
UZ z(l-»-2-) 1 Ь Z“ 9
Интегралом этого уравнения является следующее выражение для координаты х:
X —___ Г Г- ®iz^Ldz-hC ! (118,10)
V JL -н i J VI +- zi ¦ ’
пользуясь уравнением (118,6) и формулой (118,7), находим:
Уравнения (118,10) и (118,11) суть уравнения меридионального сечения поверхности волны в параметрической форме; параметром является z или и согласно первому из уравнений (118,5) и формуле (118,7); постоянная интегрирования С является параметром семейства поверхностей волн.
Найдем уравнение каустической поверхности, для чего достаточно найти уравнение меридионального сечения ее.
39i Глава X. Изображения, даваемые оптическими системамиt и их погрешности
Определяем точку каустической поверхности как предельную точку пересечения двух бесконечно близких лучей данной конгруенция или двух нормалей в бесконечно близких точках поверхности волны. Уравнение луча, бесконечно близкого к лучу, представляемому уравнением (118,3), находим, давая параметру и бесконечно малое приращение da; имеем:
г, — (у do — ;) (ц -I du)t
или
-/¦ = (9 — с) и -н ad'i -+- (f — !¦) du.
Сопоставляя это уравнение с уравнением (118,3), находим:
„ d<?
г, — — а‘
eftp
da
(118,12)
Это уравнение меридионального сечения одной полости каустической поверхности в параметрической форме.
Вторую полость каустической поверхности находим, определяя точку пересечения двух бесконечно близких нормалей в сагиттальном сечении поверхности в точке М (рис. 205), т. е. нормалей к элементу окружности в этой точке, перпендикулярному плоскости рисунка. Очевидно, что эта точка пересечения есть точка S' на оптической оси; вторая полость каустической поверхности вырождается в отрезок оси OS'.
Если бы для продольной сферической аберрации можно было найти аналитическое выражение зависимости ее от угла а', то выведенные уравнения совершенно точно определяли бы поверхность волны и каустическую поверхность; если функция о может быть определена лишь приближенно в виде целой функции с несколькими членами, то обе поверхности характеризуются этими уравнениями также с некоторым приближением.
