Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом в случае изопланатического изображения, когда каустические поверхности для всех точек конгруентны, разность оптических длин лучей между двумя бесконечно близкими точками в. пространстве предметов и двумя соответственными точками на каустических поверхностях одинакова для различных пар лучей, касательных к этим каустикам.
Изложенное свойство двух пар лучей является необходимым следствием существования изопланатического изображения части пространства предметов; в то же время оно является достаточным условием существования такого изопланатического изображения; формулировка и доказательство соответственной теоремы связаны с понятиями и некоторыми положениями теории линейчатых поверхностей. Доказательство ем. у Boegehold’a [1], S. 134—135.
26*
404 Глава X. Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
§121. Иаопланатическое изображение элемента плоскости вблизи
оптической оси
Положим, что оптическая система дает не вполне совершенное изображение элемента плоскости, пересекающего ось под прямым углом, и что каустические поверхности пучков лучей, выходящих из всех точек элемента, конгруентны; в этом случае качество „изображения" в условном смысле всех точек элемента одинаково с качеством изображения на оси. Из закона косинусов, обобщенного в предыдущем § 120 для этого случая, можно вывести необходимое и достаточное условие существования изопланатических изображений, аналогичное
закону синусов Аббе для случая вполне совершенного изображения.
На рис. 212 М' — последняя поверхность_ оптической системы, Q'—центр выходного зрачка, SJ Рх' Р/ и S./ Р/ Р2— каустические поверхности лучей, вышедших в пространстве предметов нз точки на оси системы и из некоторой точки, расстояние которой до оптической оси разно dl; обе точки находятся в плоскости, перпендикулярной оптической оси- системы. Вершины каустических поверхностей S/ и S/ в случае бесконечно малого выходного зрачка, т. е. бесконечно малой действующей диафрагмы, являются гауссовыми изображениями названных точек пространства предметов. Вследствие симметрии оптической системы эти изображения должны располагаться в плоскости, перпендикулярной оптической оси, т. е. SL' S2' _L М' S/. В случае диафрагмы конечных размеров лучи, образующие в пространстве предметов конические поверхности с вершинами в названных точках, в пространстве изображений образуют также конические поверхности S/ Р/ Р/ и S2' Р2' Р/> касающиеся обеих каустических поверхностей по окружностям в точках Р/, Р]' и Рг', Р2 и имеющие вершины в точках S/ и .5^' на осях этих поверхностей; отрезки осей симметрии S/ и S./ S,/ суть вторые выродившиеся
полости каустической поверхности. Симметричность второй каустической поверхности S2r Р/ Р% является результатом требования конгруентности
§ 121. Ивопланатическое изображение элемента плоскости вблизи оси
405
обеих поверхностей, так как каустическая поверхность осевой точки симметрична относительно оптической оси вследствие симметрии оптической системы.
Каустические поверхности внеосевых точек симметричны относительно главных лучей пучков, если эти оси проходят через центр выходного зрачка; если положение действующей диафрагмы изменить, то симметрия наклонных пучков нарушится.
Как сказано, точки S/ и St' принадлежат каустическим поверхностям и являются соответственными точками конгруентных поверхностей; поэтому к отрезку dl' и сопряженному с ним в пространстве предметов отрезку dl применима общая теорема косинусов предыдущего параграфа (120,4). Для точки на оси углы ег и е/ равны 90°, т. е. в данном случае постоянная dC равна нулю. Далее вместо угла &' луча с отрезком dl' вводим угол и' луча с осью, дополнительный до 90°. Теорема дает:
п' dl' sin и'—ndlsiau = 0. (121,1)
Хотя каустическая поверхность S2' Р2' Р./, конгруентная поверхности Sj' Р-l /у, получается поворотом последней на малый угол вокруг центра^ Q', но для малых углов поворота можно принять, что дуги Sx' S./ н 3/ S2' суть катеты прямоугольных подобных треугольников Q' S/ S2' и Q' S/ S./, равные dl' и dl'. Расстояние точки St' от последней поверхности системы М равно s', такое же расстояние Точки равно s'4-Ss', где Ss' продольная сферическая аберрация; расстояние М' Q' центра выходного зрачка от той же поверхности обозначаем х'.
Из подобия треугольников следует:
—I- = *' ~f ~,5s- • (121,2)
Jl’ х —s \ г /
Для гауссова изображения имеем:
5- = Р. (121,3)
al
Исключая из уравнений (121,1), (122,2) и (121,3) отрезки dl, dl' и dl', ¦риходим к следующему уравнению:
Q—Т-г—7---i ==: ~7~~> • (121,4)
Рл sma $ —х \ 9 /
Преобразуем эту формулу для случая, когда плоскость предметов находится на бесконечно далеком расстоянии, применяя формулу (112,3) для исключения увеличения (3 и заменяя произведение a sin и равной
ему высотою А; так как расстояние а1 стремится к пределу /' — фокус-
ному расстоянию системы, то аналогично формуле (112,6) находим:
-Al 1__/' _ f. °s’ . 21 5)
sinu'j J s'—x'
Формулы (121,4) н (121,5), полученные в 1919 г. одновременно и независимо Штебле и Лигоцким, являются обобщением закона синусов Аббе
