Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
формул тензорного анализа дана в Приложении III.
В настоящем параграфе рассмотрим лишь определения, из которых следуют все
свойства тензоров. В следующем параграфе мы покажем, что в случае
плоского пространства - времени специальной теории относительности
возможны некоторые упрощения.
В пространстве или, точнее, в четырехмерном континууме, соответствующем
четырем обобщенным координатам (хь х2, х3, х4), тензор ранга г
определяется как таблица 4Г величин, которые относятся к данной точке
континуума и преобразуются по некоторым определенным правилам при
переходе к новым
48
ГЛ. II. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
координатам, заданным через первоначальные:
x/l=xn(x\ X2, X3, А'4), Х/2 = Х'2(Х1, X2, X3, А4),
а/3=а/3(а1, а2, а3, а4), А/4 = А/4 (а1, А2, А3, А4).
(19.1)
Тензор нулевого ранга, или скаляр S, задается единственной величиной, не
зависящей от преобразований координат. Другими словами, при любой замене
системы координат должно выполняться равенство
Контравариантный тензор ранга единица, или вектор Аа, определяется
набором четырех величин:
которые преобразуются при переходе к новой системе согласно уравнению
Здесь dx'v-jdxa - это величина, характеризующая в соответствии с (19.1)
данную точку континуума; двойное появление в (19.4) "немого" индекса а
означает, что по нему производится суммирование, причем а=1, 2, 3, 4.
Ковариантный тензор ранга единица Ва определяется набором четырех
величин:
которые преобразуются при заменах координат следующим образом:
Контравариантный тензор ранга два ТаР задается шестнадцатью величинами:
S'=S.
(19.2)
Аа= (Л1, А2, А3, Л4),
(19.3)
(19.4)
В а- (Bi, В 2, В з, В 4),
(19.5)
119.6)
(19.7)
а правило преобразования их выглядит так:
л/*4
Т= Та I5.
дх^ дх$
(19.8)
§ 19. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
49
II наконец, ковариантный тензор того же ранга Sap определяется набором
шестнадцати величин, преобразующихся следующим образом:
Подобным же образом определяются тензоры смешанной контравариантной и
ковариантной природы и тензоры более высоких рангов. В общем виде правило
их преобразования можно записать так:
^,'nv... дх^ dx'v дх'6 дхг ... /tnim
О9-1")
Двойное появление индексов в подобных тензорных выражениях всегда будет
означать, что по парам совпадающих ("немых") индексов производится
суммирование по четырем значениям: 1, 2, 3, 4. Заметим еще, что скаляр не
обязательно относить к какой-либо точке континуума, в то время как
тензоры более высоких рангов следует, вообще говоря, связывать с
некоторой заданной точкой, так как коэффициенты dx'^Jdxa и т. д.,
появляющиеся при преобразованиях, могут, вообще говоря, иметь разные
значения для различных точек среды. Можно, конечно, строить тензорные
поля, связывая с каждой точкой данного континуума определенные значения
тензора поля.
Рассмотрим случай, когда метрические свойства континуума заданы
выражением
ds2=gv,vdx^dx'J (g"v=gv")y (19.11)
где скалярная мера элемента интервала ds соответствует бесконечно малому
вектору dx11-. Фундаментальный метрический тензор gliv приобретает здесь
особую важность. Свяжем с ним величину g (нескалярную), равную
детерминанту:
ё= I Shiv] , (19.12)
и контравариантный тензор g'|iV, определив его через нормированный минор:
guv = Kiyjminoy _ (19 13)
С помощью этих двух фундаментальных тензоров можно
ввести операции поднимания и опускания индексов, позволяющих получать
сопряженные тензоры различных степеней ковариантности или
контравариантности:
<г:- ^т::.Р::: и = gatJr;::p:::. (19.14)
4 Р. Тслмеи
50
ГЛ. II. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Этим мы можем закончить формулировку определений, лежащих в основе
тензорного анализа. Все остальные свойства тензоров и правила тензорного
анализа могут быть получены с помощью этих определений. Так, все способы
нахождения новых тензоров, изложенные в Приложении III: сложение,
умножение, свертывание, ковариантное дифференцирование и т. д., могут
быть проверены следующим образом. Именно, компоненты тензоров, полученных
в конечном итоге, должны преобразовываться при заменах координат в
соответствии с правилами преобразований, которые выше были постулированы
в качестве общих определений тензоров.
Важнейшие преимущества тензорного анализа в качестве аппарата
математической физики выявляются в двух обстоятельствах.
Во-первых, это очень краткий и удобный язык для формулирования физических
законов. Например, единственное тензорное уравнение
Rlvo = 0 (19.15)
включает в себя 256 различных уравнений, в чем легко убедиться, если
перечислить все возможные значения 1, 2, 3, 4 индексов ц, v, о и т.
Поэтому результаты, которые можно получить с помощью тензорного анализа,
было бы трудно получить, так сказать, "вручную".
Во-вторых, физические законы, выраженные с помощью тензорных соотношений,
имеют один и тот же вид во всех системах координат. В самом деле, из
общего правила преобразования (19.10) сразу вытекает, что любое тензорное
уравнение
т^::: = о 09.16)
