Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
х = -г==, У=У , z=z', [ - -- ¦ (8.2)
' J U ' Л! 1 Т/2 П2 7
VI-У2 "с- VI-П2/С'
Эти уравнения с необходимостью вытекают из первого и второго постулатов
теории относительности при естественных предположениях о евклидовости
мира, об однородности пространства и времени и т. д. Мы ограничимся здесь
утверждением, что это действительно так.
Согласно первому постулату теории - бессмысленности абсолютной скорости-
две системы ShS', введенные выше, должны полностью быть эквивалентны в
смысле их пригодности для описания физических явлений. Следовательно,
правила преобразования от переменных системы S к переменным системы S'
должны иметь тот же самый вид, что и правила обратного преобразования,
конечно, с точностью до знака относительной скорости V. Это условие
выполняется на самом деле, поскольку система уравнений (8.2), полученная
из системы (8.1), полностью совпадает с последней по форме, если в ней
заменить + V на -V.
В соответствии со вторым постулатом относительности скорость света должна
быть одинаковой в обеих рассматриваемых системах координат. Чтобы
убедиться в этом, заметим, что правила преобразований Лоренца оставляют
инвариантной следующую величину:
dx2+dy2+dz2 - сЧР. (8.3)
Последнее становится очевидным, если подставить соотношения
3 Р. Толмсп
34
ГЛ. II. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
(8.2) в выражение (8.3): dx2 -f dy2 -f dz2 - c2di2 =
= (df+шу + dyli + dz>2 _ C2 /*1+?W) у =
\Y 1-1/2'c2 j V /1-1/2;'C2 /
= dx'a + dy'2 + dz72 - cW*. (8.4)
Из инвариантности этого выражения, однако, сразу следует, что измеряемая
скорость света будет одной и той же в обеих системах, поскольку если
распространение импульса света со скоростью с относительно системы S
описывается уравнением
dx2-\-dy2-\-dz2- c2dt2 = 0, (8.5)
то тот же импульс будет распространяться с той же скоростью с в системе
S' согласно уравнению
dx'2+dy'2+dz'2 - c2dt'2=0. (8.6)
Итак, мы убедились, что правила преобразований Лоренца
соответствуют двум постулатам теории относительности. Отметим также, что
эти правила находятся в соответствии и с нашими представлениями об
однородности пространства и времени. Далее, если относительная скорость
систем V мала по сравнению со скоростью света, найденные правила сводятся
к так называемым галилеевым правилам преобразований
x'=x-Vt, у'=у, z'-z, t'=t. (8.7)
Эти правила были установлены на основании опытов при малых скоростях и
считались точными по представлениям Галилея и Ньютона о природе
пространства и времени.
Надо также отметить, что множество лоренцевых преобразований для всех
систем, находящихся в состоянии относительного неускоренного движения,
образует группу, т. е. конечный результат последовательных преобразований
между системами координат эквивалентен единственному преобразованию от
первоначальной системы к конечной. Укажем еще, что преобразования
становятся мнимыми, если относительная скорость двух систем V больше
скорости света. Этот результат совпадает с выводом, который будет сделан
в следующем параграфе, что величину скорости света с следует
рассматривать как верхний предел для относительных скоростей материальных
систем.
Из полученных преобразований Лоренца путем несложных преобразований можно
вывести ряд уравнений, которые позволяют наиболее простым образом
интерпретировать результаты измерений геометрических и кинематических
величин.
§ 9. СОКРАЩЕНИЕ ЛОРЕНЦА И РАСТЯЖЕНИЕ ВРЕМЕНИ
35
§ 9. Правила преобразования пространственных и временных интервалов.
Сокращение Лоренца и растяжение времени
С помощью обычного дифференцирования уравнений (8.1) легко получить
соотношения
dy' = dy, dz' - dz, dt' = ^ . (9.1)
yi-v<cl yi-v2ic*
Будем считать, что малые величины dx, dy, dz, dt и dx', dy', dz', dt'
определяются в результате производимых в обеих системах пространственных
и временных измерений интервалов, которые характеризуют различия
пространственно-временных положений двух последовательно происходящих
событий. С помощью уравнений (9.1) удобно сравнивать результаты измерений
стержней п показания часов в обеих системах.
Допустим, что производятся измерения длин двух стержней, установленных
параллельно оси х в каждой из систем, причем есть способ сравнивать
нанесенные на эти стержни масштабные отметки, когда стержни скользят
относительно друг друга. В качестве изучаемых событий будем рассматривать
совмещение масштабных делений одной линейки с масштабными делениями
другой.
Выясним сперва, как будет выглядеть отрезок dx', отложенный для измерения
стержня в системе S', при измерении его з системе S. Для этого рассмотрим
совпадения между крайними точками dx' и масштабными отметками на стержне
из системы S, которые представляются одновременными в системе S. Так как
эти совпадения являются одновременными в системе S, имеем
dt= 0. (9.2)
Подставляя это условие в систему уравнений (9.1), получаем
dx
dx' - -z= , или о v J ' I 11'- с1 , (9.3)
У 1-v2/c2 '
откуда следует вывод, что длина отрезка dx', отмеренного на стержне,
