Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
43
говорят о пространственно-временном континууме как (3+1)-мерном, а не
просто четырехмерном. (3+1)-мерный характер континуума пространства -
времени полностью определяет выбор геометрии. Мы убедимся в этом ниже, в
§ 16.
§ 15. Геометрия пространства - времени
Итак, мы предопределили выбор геометрии, введя пространственно-временной
континуум. Теперь мы должны надлежащим образом приспособить
математический аппарат для записи следствий постулатов теории
относительности. Одно из наиболее фундаментальных и существенных
следствий - инвариантность относительно преобразований Лоренца выражения
с1х2+с1у2+(1гг-сЧ12. (15.1)
Это выражение было введено выше (см. (8.4)). Определим теперь вид
геометрии пространства - времени, руководясь этим свойством
инвариантности.
Исходя из инвариантности выражения (15.1), примем в качестве элемента
интервала 4-мерного гиперпространства, выраженного через х, у, z и t,
следующее выражение *):
ds2=-dx2-dy2-dz2jrc2dt2. (15.2)
Так как такой элемент интервала в пространстве является объектом,
существующим независимо от любого конкретного задания осей координат, то
он инвариантен при любых преобразованиях координат. Следовательно, выбор
выражения (15.2) в качестве отправного пункта обеспечивает необходимую
инвариантность не только относительно группы лоренцевых преобразований,
которые не изменяют вид правой части выражения
(15.2), но и относительно любых возможных преобразований координат. Это
дополнительное свойство проявится в полной
мере, когда мы перейдем к рассмотрению общей теории относи-
тельности.
Известно, что от вида линейного элемента полностью зависит природа данной
геометрии**). Поэтому выбор выражения
(15.2) уже предопределил все геометрические свойства пространства -
времени. Найдем теперь какое-нибудь достаточно простое свойство и
убедимся в пользе геометрического подхода в теории относительности.
*) Естественно, что выбор отрицательного знака при пространственных
компонентах и положительного для временной совершенно условен. Будем
придерживаться этого наиболее распространенного способа.
**) Исключая возможные дальнейшие предположения относительно связности
пространства и способов идентификации точек.
44
ГЛ. II. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 16. Сигнатура линейного элемента и три типа интервалов
Квадратичная форма, линейный элемент (15.2), характеризуется
отрицательными знаками перед пространственными компонентами dx2, dy2, dz2
и положительным при временной компоненте c2dt2. Это различие знаков
отражает, как уже подчеркивалось выше, различие в природе
пространственных и временных движений.
Сигнатура нашей квадратичной формы, равная минус двум, соответствует трем
отрицательным знакам и одному положительному и не изменяется при любых
действительных преобразованиях координат. Поэтому различие между
временной и пространственными координатами всегда сохраняется, и мы
всегда можем отличить времениподобную координату от других по ее знаку.
Если ввести мнимые преобразования координат, сигнатура квадратичной формы
изменится, однако координаты все же можно различать, если знать, является
действительной или мнимой связь этих координат с реальными физическими
величинами.
Переходя в выражении (15.2) к мнимым пространственным координатам
х = ix, у = iy, z = iz, ct = и, (16.1)
получим
ds2 = dx2 -f dy2 + dz2 -f du2. (16.2)
Сигнатура при этом становится равной +4. Имея в виду эту
простую формулу, часто говорят, что геометрия, используемая в специальной
теории относительности, соответствует четырехмерному евклидову
(плоскому) пространству. Формула (16.2)
в ряде случаев упрощает математическую трактовку. Однако на самом деле
этот прием, давая небольшие упрощения, может приводить и к некоторой
путанице и часто вынуждает переходить для выяснения физического смысла к
обычным пространственно-временным координатам. Поэтому мы откажемся от
применения мнимых координат (16.1) в этой книге.
Рассмотрим выражение для интервала в его первоначальном виде:
ds2=-dx2-dy2-dz2-\-c2dt2. (16.3)
Отметим, что в противоположность геометриям, в которых сигнатура равна
числу координат, в данном случае свойства интервалов могут быть
различными. Можно различать интервалы по относительной величине временной
и пространственной компонент. Будем называть интервал
пространственноподобным (времениподобным), если величина dx2-\-dy2-\-dz2
больше (меньше), чем величина c2dt2, и сингулярным, если эти величины
равны.
§ 17. ЛОРЕНЦЕВЫ ПОВОРОТЫ ОСЕЙ
45
Для пространственноподобного интервала всегда можно найти (§ 18)
лоренцевы преобразования к так называемым собственным координатам, когда
временная компонента становится равной нулю. Таким образом, величину
пространственноподобного интервала всегда можно определить физическим
путем, т. е. сравнивая его с соответствующим образом движущейся и
ориентированной масштабной линейкой. Точно так же величину
времениподобного интервала можно определять с помощью часов. Величины же
