Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
\-и' и -и' вдоль оси х так, что между ними происходит лобовое
столкновение. Так как по предположению обе частицы совершенно одинаковы и
упруги, очевидно, что они в первый момент после столкновения придут в
состояние покоя. Затем, испытав действие упругих сил, частицы начнут
обратное движение по их первоначальным путям с относительными скоростями
-и' и + "', т. е. со скоростями, прежними по величине, но обратными по
направлению. Таким образом, в этой системе координат процесс столкновения
явно происходит в соответствии с законом сохранения массы и импульса.
Введем теперь новую систему координат 5, движущуюся относительно первой в
направлении х со скоростью -V. Используя эту новую систему, обозначим
через щ и и2 скорости частиц до столкновения. Допуская, что массы зависят
от скоростей, будем считать, что до столкновения имеются две частицы с
массами rrii и т2. Далее, обозначим через М суммарную массу двух частиц в
тот момент времени, когда частицы при столкновении пришли в состояние
относительного покоя и, следовательно, обе движутся со скоростями + V
относительно рассматриваемой системы координат S.
Согласно законам сохранения, которые должны выполняться и в новой системе
координат, общая масса и общий импульс двух частиц должны быть одними
теми же и до столкновения
§ 23. МАССА ДВИЖУЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЫ
57
и в момент остановки, так что можно записать:
= M (23.1)
и
m1Ui-\-m2U2 = MV. (23.2)
Воспользовавшись теперь правилами преобразования для скорости (10.2),
можно, очевидно, выразить скорости щ и и2 через их значения -\-и' и -и'
относительно первоначальной системы координат S'. В результате получим
+ V " - и.' + V (с>п п,
1 ~ 1+и'Р/с2 2 - 1-иТ/с2 ' { >
Объединяя последние четыре уравнения, легко получить из них отношение
масс частиц:
- =г- 1 ^ u'Uf- ¦ (23-4)
т2 1 - и V [с- v '
С помощью преобразования (11.1) оно принимает вид
,х ут~%?
т.
1/ 1 - иг С2
(23.5)
Таким образом, если две частицы обладают одинаковыми массами покоя,
равными, скажем, т0, то их массы при движении со скоростью и обратно
пропорциональны У1 - ма/са. Таким образом, выражение массы движущейся
частицы через ее скорость и массу покоя то имеет вид
т = -г-т°- - - . (23.6)
V 1-и2/с2
Хотя выражение для массы движущейся частицы (23.6) найдено на простейшем
примере лобового столкновения двух частиц [19], вообще говоря, несложно
показать, что то же самсе выражение мы получим при рассмотрении любых
столкновений [20]. Укажем также на то, что это выражение, в котором под и
будем подразумевать полную скорость, обеспечивает справедливость законов
сохранения массы и импульса во всех системах координат для любого вида
столкновения между двумя частицами [19]. Кроме того, имеются, конечно, и
экспериментальные подтверждения справедливости полученного выражения -
это опыты по измерению массы движущегося электрона, которые мы обсудим в
§ 29. Можно без колебаний принять это выражение, как правильно
описывающее массу движущейся частицы в общем случае.
58 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
Интересно, что в соответствии с (23.6) масса частицы оказывается
бесконечной при скорости, равной скорости света. Это согласуется с нашим
предыдущим утверждением, сделанным в § 10, о том, что скорость света надо
рассматривать как верхний предел возможных скоростей.
В заключение заметим, что для того, чтобы выполнялись законы сохранения
массы и импульса, необходимо приписывать массу потенциальной энергии
упругой деформации. Это следует из уравнений, найденных в случае лобового
столкновения, которые приводят к результату
,и> .23 7) /1 -Р2/с2
Полная масса двух частиц в момент, когда они находятся в состоянии
относительного покоя, больше той, которую они имеют при скорости V и
общей массе покоя недеформированных частиц 2т0.
§ 24. Правило преобразования массы
Согласно уравнению (23.6) масса данной частицы различна в системах
координат, движущихся с различными скоростями. Из уравнения (11.1) для
преобразования множителя ~\/i-u2/c2 легко получить правило преобразования
массы:
1 + и' V/с2
т = т' ' -. 124.1)
|/1 - р2/с2 '
Дифференцируя по времени и упрощая результат, находим
правило преобразования для изменения массы частицы с изме-
нением ее скорости:
ДТ = dJHL illL I } + . (24 2)
dt а: с2 \ ^ с" I dt'
§ 25. Определение силы и правило ее преобразования
Так как масса движущейся частицы изменяется со скоростью, становится
невозможным определить силу, как в ньютоновской механике, двумя
способами: как произведение массы на ускорение и как скорость изменения
импульса. Оказывается, удобно сохранить последнее определение, поскольку
тогда принцип равенства действия и противодействия совпадает с законом
сохранения импульса, принятым нами ранее как аксиома.
§ 25. СИЛА И ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
59
Итак, зададим силу F, действующую на частицу с массой т и скоростью и,
векторным выражением *):
з компонентах это записывается так:
г-1 d / \ ci ¦ п'г.и у
