Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
же физический смысл и в любой другой инерциальной системе. Третий
возможный способ построения тензора - это путь последовательных переходов
от более простых тензоров, чей физический смысл хорошо известен, к более
сложным тензорам. Для примера приведем простейшие тензоры, которые часто
используются в такого рода построениях. Это - скалярный элемент интервала
ds; ковариантный вектор, соответствующий малому сдвигу координат, dxv-\
ковариантные векторы обобщенной "скорости" и обобщенного "ускорения"
dx^jds, d2x>-llds2, где ds - временнподобный интервал, являющийся
элементом 4-траектории движущейся частицы.
Соответствие между ковариантным подходом и вторым постулатом установить
даже еще проще. Согласно второму постулату скорость света в свободном
пространстве должна быть одинаковой для различных наблюдателей,
находящихся в состоянии равномерного относительного движения, что
вытекает из того же обстоятельства, что и основные особенности
пространственно-временного континуума в специальной теории
относительности (§ 15).
Согласно определению (15.2) элемент интервала в этом континууме,
записанный в обычных пространственных и временных координатах {х, у, z,
t), имеет вид
так что 4-траектория светового импульса, распространяющегося со скоростью
с, определяется из условия
Действительно, применяя его к предыдущему выражению, немедленно получаем
соотношение
Однако, если перейти теперь к некоему другому набору координат (х', у',
z\ С), соответствующих новой инерциальной
ds2 =-dx2-dy2-dz2-\-c2dt2.
(21.1)
ds = 0.
(21.2)
(21.3)
54
ГЛ. II. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
системе отсчета, легко убедиться, что форма выражения для интервала не
изменится из-за лоренцевых преобразований. Останется прежней и величина
интервала ds, поскольку он является скаляром. Таким образом, в новых
координатах скорость света будет по-прежнему определяться в соответствии
со вторым постулатом через соотношение
Итак, аппарат четырехмерной геометрии весьма удобен для рассмотрения
явлений в специальной теории относительности, и далее мы будем его широко
использовать. Что же касается общей теории относительности, ее трудно
даже представить себе вне ковариантного подхода.
(21.4)
ГЛАВА Ш
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
ЧАСТЬ I
ДИНАМИКА ЧАСТИЦЫ
§ 22. Законы сохранения массы и импульса
Рассмотрим теперь, как идеи специальной теории относительности
модифицируют прежнюю ньютоновскую механику. Обратимся сначала к механике
частиц, которой пока будет достаточно для наших нужд, а затем, во второй
части, перейдем к изучению динамики непрерывной механической среды.
В добавление к уже полученным кинематическим следствиям специальной
теории относительности, в аксиоматическую основу механики
взаимодействующих частиц положим два закона сохранения - массы и
импульса.
Для системы взаимодействующих между собой частиц эти законы требуют,
чтобы полная масса системы частиц оставалась постоянной, т. е.
2^1 = const, (22.1)
i
где сумма берется по массам всех частиц системы. Подобным же образом
должна оставаться постоянной каждая х-, у-, г-компонента полного импульса
системы:
2 тих =- const, 2 тиу = const, 2 muz - const. (22.2)
В каждом из этих уравнений суммируются проекции импульсов всех частиц на
данное направление*). По принципу относительности эти уравнения должны
оставаться справедливыми во всех инерциальных системах координат.
Так как ньютоновская система механики также включает идеи относительности
движения и сохранения массы и импульса, уравнения (22.1) и (22.2) должны
выполняться для всех
*) Такое рассмотрение применимо к системам частиц, которые
взаимодействуют только путем столкновений. Мы не будем касаться более
сложных систем, где полям также приписываются непрерывные распределения
массы и импульса.
56
ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
инерциальных систем уже в теории Ньютона. Однако ньютоновская и
релятивистская механики существенно отличаются уравнениями
преобразования, описывающими переходы от одной системы координат к
другой. В ньютоновской механике используются галилеевы преобразования
(8.7) и предполагаются справедливыми законы сохранения (22.1) и (22.2) во
всех системах координат при условии, что масса частицы не зависит от
скорости. В релятивистской механике мы имеем уже более сложные лоренцевы
преобразования, которые также следует объединить с уравнениями (22.1) и
(22.2), однако в предположении, что масса частицы уже зависит от ее
скорости. Этот вопрос мы разберем в следующем параграфе.
§ 23. Масса движущейся частицы
Покажем, что масса частицы должна зависеть от ее скорости, если законы
сохранения справедливы во всех системах координат. Рассмотрим сначала
сохранение массы и импульса в двух различных системах координат S и S' в
простейшем случае лобового упругого столкновения двух одинаковых частиц.
Будем считать, что в первой системе координат (назовем так для удобства
штрихованную систему S') частицы до столкновения движутся со скоростями -
