Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 22

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 205 >> Следующая

переходит в выражение точно того же вида:
= 0, (19.17)
если перейти от координат (х1, х2, х3, х4) к координатам (х'\ х'2, х'3,
х/4). Ниже, в §21 и в § 73, мы убедимся, что это важное свойство очень
близко к природе постулатов специальной и общей теории относительности.
§ 20. Упрощение тензорного анализа в случае специальной теории
относительности. Галилеевы координаты
В случае плоского пространственно-временного континуума специальной
теории относительности тензорный анализ несколько упрощается.
Действительно, в соответствии с определением
(15.2) общему выражению для элемента интервала можно
S 20. УПРОЩЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
51
придать особенно простой вид:
ds2= - (dxl)2- (dx2)2- (dx3) 2+ (dx*)2. (20.1)
Здесь введены так называемые галилеевы координаты, которые выражаются
через прежние пространственные и временную переменные следующим образом:
В этих новых координатах лоренцевы преобразования (17.4), соответствующие
переходу к новой системе пространственных осей, движущихся относительно
первоначальных в дс-направле-нии со скоростью V, принимают вид
а коэффициенты дх'^/дхаи т.д., возникающие согласно правилам
преобразования тензоров при заменах координат, оказываются равными
Остальные произведения, соответствующие всем остальным комбинациям
индексов, равняются нулю.
Далее, при использовании в специальной теории относительности галилеевых
координат (20.2) коэффициент лоренцева сокращения УI -ы2/с2, относящийся
к точке, которая движется со скоростью и, определяется в соответствии с
выражением
(20.1) весьма простым способом:
где времениподобный интервал ds - элемент 4-мерной траектории этой
движущейся точки.
Отметим также, что в специальной теории относительности метрический
тензор, соответствующий интервалу (20.1), имеет обычные галилеевы
компоненты:
?ll = ?22=?зЗ =- 1, ?44=1, ?^v=0 (p=7^v). (20.6)
Поэтому поднимание и опускание индексов по правилу (19.14) для координат
вида (20.2) приводит лишь к изменению знаков определенных компонент. Так,
связь вектора Ац с сопряженным вектором АV оказывается тривиальной:
х' - Х, Хг - у, X3 - Z, x4=ct.
(20.2)
дх'! дх'1 1 dx'i дх''
дх'* дх'1
V/с дх'2 дх'3
дд:1 дх1 -j/'i v2jc2 ' дх1 дх1
у 1_р21с2 ' дх-2 дх3
(20.4)
(20.5)
Ai--Ai (/=1,2,3), Л4== А4.
(20.7)
52
ГЛ. II. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Связь же сопряженных тензоров и T^v имеет вид
Т^=Т"4, исключая Тц=-Г'4 и Тц--Г4' при i= 1, 2, 3. (20.8)
Можно еще добавить, что применение в специальной теории относительности
координат (20.2) сильно упрощает некоторые тензорные операции. Так,
например, становится несложным построение нового тензора путем
ковариантного дифференцирования, как показывает формула (33) из
Приложения III. В частном случае для ковариантной
производной тензора имеем
(ТП* = ^- (20-9)
Аналогичным образом определение дивергенции или свернутой ковариантной
производной выглядит просто как
(7>v)v=-- (20.10)
v ' дх1
вместо запутанных выражений, которые неизбежно возникают при
использовании координат более общего типа. Поэтому з специальной теории
относительности тензорный аппарат оказывается весьма удобным.
§ 21. Четырехмерный аппарат и постулаты специальной теории
относительности
Чтобы завершить рассмотрение геометрического четырехмерного подхода к
специальной теории относительности, найдем его связь с обоими постулатами
теории. Сделать это можно крайне простым способом.
Из обсуждения, проведенного в § 5, следует, что первый постулат
специальной теории выполняется, если законы физики в отсутствие
гравитационного воздействия одинаковы для всех наблюдателей, находящихся
в состоянии равномерного относительного движения. Это легко установить,
если с помощью геометрического метода сформулировать физические законы в
виде тензорных уравнений, в которых используются тензоры, имеющие один и
тот же физический смысл во всех системах координат (под системами
координат тут подразумеваются различные наборы декартовых осей,
находящихся в состоянии равномерного относительного движения).
Действительно, тензорные уравнения (19.16) и (19.17), если они
справедливы в одной системе координат, справедливы и во всех других
системах. Это, однако, и дает нужное соответствие с первым постулатом при
условии, конечно, что наши тензоры обладают свойствами, найденными в §
20.
§ 21. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЙ АППАРАТ И ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ
53
Реальная задача построения тензоров с компонентами, имеющими один и тот
же смысл в различных инерциальных системах отсчета, может быть решена
тремя различными способами. Можно определить тензор, задав его компоненты
в некой произвольной системе отсчета вида (20.2), а затем,
непосредственно выполняя преобразования Лоренца, убедиться, что заданные
таким образом компоненты в самом деле сохраняют прежний физический смысл
в другой системе отсчета. Можно действовать другим способом: определить
тензор, задавая физические величины в собственной системе отсчета. Ввиду
выделенности собственной системы координат эти величины будут иметь тот
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed