Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
183). Однако, чтобы изучить гравитационное поле внутри модели, в нее
нужно
§ 144. ПРОБНЫЕ ЧАСТИЦЫ И СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ
357
вносить лишь пробные частицы и световые лучи, что, конечно, не
возбраняется.
Движение пробной частицы и распространение светового луча определяются
уравнениями геодезической
й%Х° Л- Г° d3Cl1 ^ О I I 4 Л 1 л
+ = 0 (144-П
Взяв деситтеровский интервал в общем виде:
ds2--e%dr2-r2d 02-г2 sin20 dq>2-\-evdt2, (144.2)
где
о~~У* - aV - 1 ____________ ____
R2
X = ev=]_L5, (144 3)
и подставив в уравнение геодезической символы T?v из формул (95.2),
получим четыре уравнения при о-1, 2, 3, 4:
? ^ % (§)'- [if - в - [if+i е- % Щ - 0.
S+7iS--""<="e(g)r-o.
as2 г ds ds ^ ds ds
d2t , dvdrdd "
ds2 dr ds ds
Однако без ущерба для общности эти уравнения можно упростить, если так
выбрать координаты, чтобы интересующее нас движение происходило
первоначально в плоскости 0=я/2. Тогда, согласно второму из приведенных
выше уравнений, движение будет все время происходить в этой плоскости, и
уравнения приводятся к следующему виду:
d2L + ±dh(drу _ * / Лр\" ^ 1 v_x dv /dA2 = 0
ds3 ^ 2 dr [ds J re [dsj ' 2е dt [dsj
d2q> . 2 dr dtp _ -ds2 r ds ds '
- -- - П
ds2 ' ds ds
Первые интегралы, соответствующие этим уравнениям, легко получить, так
как форма интервала (144.2) сама дает один
358
гл. х. космология
интеграл, а решения второго и третьего уравнении легко угадать. В
результате получаем
где Л и k - постоянные интегрирования. Наконец, подставляя два последних
уравнения в первое и вводя вместо величин А, и v их выражения из (144.3),
получаем уравнения движения в следующем виде:
Легко видеть, что согласно этим уравнениям постоянная h может иметь как
положительное, так и отрицательное значение в зависимости от направления
движения. Что же касается параметра k, то он должен быть положительным
для всех значений r<.R, так как координатное время t возрастает с ростом
собственного времени s. В случае же световых лучей константы h п k будут
принимать бесконечные значения, так как для света ds=0.
б) Орбиты частиц. Полученные выше интегралы уравнений геодезической
можно использовать, чтобы выяснить, как будет происходить движение частиц
во Вселенной де Ситтера.
Во-первых, исследуем форму орбиты. Сочетая первое из уравнений (144.4) со
вторым, после некоторых выкладок легко получаем
Непосредственное интегрирование этого уравнения дает аналитическое
выражение для орбит, по которым движутся частицы в деситтеровской
Вселенной. Мы можем, однако, сразу интуитивно оценить вид этих орбит, так
как уравнение (144.5) очень хорошо известно в ньютоновской механике [90].
Там это
^ - - ds г3'
dcp _ А dt k
(144.4)
ds 1 -
d(f =
h dr
(144.5)
§ 144. ПРОБНЫЕ ЧАСТИЦЫ И СВЕТОВЫЕ ЛУЧИ
359
уравнение соответствует орбите, по которой движется частица в центральном
поле с отталкивающей силой, пропорциональной радиусу. Отсюда ясно, что
орбиты свободных частиц в пространстве де Ситтера, нарисованные в
координатах г, 6, ф, будут заворачиваться таким образом, как если бы
частицы отталкивались от центра.
Рассмотрим теперь скорость движения на орбите. Она, конечно, не будет
такой же, как в упомянутом выше ньютоновом аналоге. Две компоненты
скорости уже получены выше в качестве двух первых интегралов уравнения
геодезической, но они выражены через посредство приращения собственного
временив. Поскольку, однако, при сравнении модели с реальной Вселенной
удобно вообразить себя расположенным в начале координат, а для
наблюдателя, покоящегося в начале координат, собственное время, согласно
выражениям (144.2) и (144.3) для интервала, совпадает с координатным
временем t, то выгодно скорости различных частиц выражать через
посредство координатного времени t. Для того чтобы сделать это,
достаточно исключить ds из уравнений (144.4). Переход к координатному
времени t позволяет выразить значение двух компонент орбитальной скорости
следующим образом:
dt ~ ± k У R 1 + Я* г" + R*
И
dy й(1 - га/Яа) dt kr*
Из этих уравнений видно, что радиальная скорость обращается в нуль, когда
?2 _ 1 , Д*_Л1 , Л"
а обе компоненты обращаются в нуль при
r-R.
Первое из этих уравнений определяет величину перигелия,т. е. расстояния,
на которое частица ближе всего подходит к началу координат, а из второго
уравнения следует, что частица вовсе прекращает свое движение на
расстоянии R; это расстояние в дальнейшем мы будем называть видимым
горизонтом Вселенной.
В частном случае чисто радиального движения, когда h~0, уравнение для
перигелия приводится к виду
(144.6)
(144.7) частицы
(144.8)
(144.9)
г = RV\ -k\
(144.10)
360
ГЛ. X. космология
т. е. перигелий существует, только если &<1, для больших значений k
частица проходит через центр.
Дифференцируя (144.6) и (144.7), мы можем найти также и ускорение частицы
на орбите. После некоторых преобразований получаем
Согласно (144.11) радиальное ускорение частицы, которая имеет нулевую
радиальную скорость, обязательно положительно в любой точке между г=0 и
