Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 145

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 205 >> Следующая

Чтобы произвести дальнейшие упрощения, рассмотрим компоненты
гравитационного ускорения, испытываемого свободной пробной частицей в
нашей модели. Эти компоненты определяются из уравнений геодезической
(74.13) и для случая частицы, покоящейся относительно г, 0 и ф, равны
d*r Г1 (dty d*Q , (dt\* d*q> -рЗ (dty ,малч
d? = -T"[Ts)> W = -1"[dk)' dF = -T"[d*)- (>48-6*
Так как эта пробная частица покоится относительно сопутствующей системы
координат, то она должна также покоиться и относительно локального
наблюдателя, который движется вместе с непосредственно окружающей его
материей. Однако, согласно нашей гипотезе об изотропии пространства,
физические результаты, получаемые таким наблюдателем, не должны зависеть
от направления. Следовательно, ускорения могут быть равны только нулю*).
Мы приходим к выводу, что три символа Кристоффеля в (148.6) должны также
равняться нулю. Но из формул Дингля (100.2) тогда сразу же следует, что
dv dv dv
dr = 60 ~ dq> = °'
Эти условия накладывают ограничения на величину v, которая входит в
выражение для интервала (148.5). В частности, отсюда следует, что v
зависит только от t, и это позволяет, не нарушая сопутствующего характера
системы координат, ввести новую временную координату ?, определяемую
следующим образом:
t' = \ e"v dt. (148.7)
После этого преобразования выражение для интервала приводится к виду
ds2=-exdr2-e"(r2dQ2+r2sin2Q dcp2) +dt2, (148.8)
откуда видно, что пространство - время удалось разделить на собственно
пространство и ортогональное ему универсальное
*) То, что система координат является сопутствующей, не может в общем
случае служить необходимым условием для равенства нулю ускорения, так как
сила тяжести может быть уравновешена градиентом давления.
§ 148. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ИНТЕРВАЛА 373
время t без привлечения дополнительных гипотез. Из выражения
(148.8) следует также, что время, измеряемое локальным наблюдателем,
расположенным неподвижно относительно окружающей его материи, совпадает с
собственным временем:
t=t0,
а измеряемые этим же наблюдателем собственные расстояния между имеющимися
в модели частицами равны
Ы1 = е1гХЬг, 6/2 = е 60, 6/3 = е 2jlr sin0 8(p
при условии, что в модели приращения координат остаются постоянными.
Далее, можно определить относительные скорости изменения собственных
расстояний в зависимости от изменения собственного времени:
J-ln blL = ~, ~1пЫ" = J-In 6/3 = 4-
оfft 1 2 at ot0 *¦ dt0 3 2 at
откуда сразу же, если учесть, что мир для локального наблюдателя
пространственно изотропен, следует очень полезное равенство:
$-#• 048.9"
Этот результат показывает, что формулу интервала можно упростить еще
больше, если воспользоваться преобразованием
ИЛИ
In
r' _ ^ elua-n)dr
(148.10)
От этой подстановки система координат не перестает быть сопутствующей,
так как если в первоначальной системе координат скорость частицы dr/ds
равна нулю, то и в новой системе координат скорость частицы dr'jds,
определяемая выражением
LA1 - А
г' ds ~~ дг
'МЯ.-Ц) dr
dr д_ ds + dt
>М\ -р.) dr Г
dt_
ds
д_
дг
dr . 1
ds 2
374 гл. X. космология
тоже будет равна нулю согласно равенству (148.9). Подставляя
(148.10) в (148.8) и опуская штрихи, получаем простое выражение,
которое совпадает со вторым вариантом формулы интервала из § 98:
ds2--ell(dr2-\-r2dQ2-\-r2 sin2 0 dtp2) -fd/2, (148.11)
где р. теперь является функцией новых rat.
Чтобы продолжить вывод, рассмотрим снова выражение для собственного
расстояния
б/0 = е !|i6г
между имеющимися внутри модели дву^я частицами, разделенными постоянным
координатным промежутком б г. Относительная скорость изменения расстояния
б/о при изменении собственного времени равна
д In 6/0 1 бр
' dt0 ТдГ'
но, согласно предположению о пространственной изотропии, эта величина не
должна, с точки зрения локального наблюдателя, ни возрастать, ни
уменьшаться при изменении г. Отсюда следует:
д д 1п6/0 1 сГф _ JO
д?^Г0------2дГШ-°' (1x8.12)
а значит, р, представляет собой сумму двух функций, каждая из которых
зависит только от одного из аргументов г или t:
Mr,t)=f(r)+g(t). (148.13)
Подстановка (148.13) в (148.11) приводит к более конкретному выражению
для интервала:
ds2 = - e!ir)+gU) (dr2 + rW + г2 sin2 0dcp2) +dt2. (148.14)
Чтобы сделать следующий шаг, можно воспользоваться из-
вестной теоремой римановой геометрии (теоремой Шура), из которой следует,
что если подпространство (г, 0, <р) при постоянном t изотропно в каждой
точке, то оно с необходимостью и однородно, а это позволяет заменить еНт)
решением известного вида. Однако, чтобы сделать результаты физически
более наглядными, мы пойдем другим путем.
Рассмотрим выражение для тензора энергии - импульса (98.6), полученное в
§ 98 на основании формулы интервала ds2,
$ 148. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ИНТЕРВАЛА
375
определяемой уравнением (148.14). Легко видеть, что отличны от нуля
только следующие компоненты.
8я71 = - (т + т) + ^ + Т g'2 " Л'
8я71 = 8л71 = - е~"(^ + Ц + Ё + |g3 - Л, (148.15)
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed