Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
постоянной R к бесконечности). Это будет интересно не только с точки
зрения истории, но и потому, что позволит глубже понять более адекватные
модели, к которым нам придется обратиться в дальнейшем.
§ 138. Геометрия Вселенной Эйнштейна
Интервал, соответствующий Вселенной Эйнштейна:
^ = - 1~1~ r4Q2 - f2 sin2 0 dip2 + dt2, (138.1)
бывает иногда полезно переписать в другом виде путем преобразования
координат. Это нужно либо для того, чтобы
*) В доказательстве того, что интервалы Эйнштейна, де Ситтера и
специальной теории относительности исчерпывают все возможные варианты
статического решения, мы следуем работе Толмена [83]. Более раннее
доказательство содержится в работе [84], а доказательство того, что нет
никаких Других дополнительных стационарных решений в смысле § 142, см. в
[85].
344 гл. X. космология
получить более удобное выражение, либо для того, чтобы лучше понять
порождаемую им геометрию пространства.
Так, подстановка
' = (138-2>
приводит выражение (138.1) к изотропному виду:
dS2 = ~ (Г+ P'/4W (ф2 + pW + р2 51П2 9 ^ф2) + dP- (138'3)
В свою очередь (138.3) с помощью очевидных преобразовании можно
переписать следующим образом:
ds2 = - (1+р44RT {dX* + dlf + ^ + dtK (138'4)
Подстановка
r-Rsin% (138.5)
в (138.1) приводит к выражению
ds2 --R2(d%2-{-sin2%d02-f sin2x sin20 dq>2) -f dt2. (138.6)
Наконец, если перейти к большему числу переменных с помощью уравнений
= R ]/1 - -^r, z2 = г sin 0 cos ф, z3 = г sin 0 sin ф, z4 = г cosO,
(138.7)
где
z1 + zl+zl+zl = R2, (138.8)
то интервал ds2 можно записать в виде
г\ - dz\ - dz\
ds2 = - dz2i- dzl - dz\ - dzl + dt\ (138.9)
Согласно последнему выражению наше исходное пространство- время можно
рассматривать как погруженное в евклидово пространство большего числа
измерений.
Тип геометрии, отвечающей каждому из выражений для интервала, не
определяется полностью формулой интервала, так как при заданной
дифференциальной форме интервала можно, вообще говоря, еще делать
различные предположения относительно связности и идентификации точек.
Однако, согласно полученной нами последней формуле для интервала, проще
всего рассматривать пространственную часть эйнштейновской Вселенной как
всю трехмерную сферическую поверх-
§ 138. ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ ЭЙНШТЕЙНА
345
ность Zi+zl+zl+zt-R2, погруженную в четырехмерное евклидово пространство
(zi, z2, z3, z4). Тогда геометрия, соответствующая
пространственноподобным переменным в эйнштейновском интервале, будет
геометрией так называемого сферического пространства радиуса R. Если же
противоположные точки сферы отождествить и ввести соответствующую
связность, то пространственную геометрию можно будет считать геометрией
так называемого эллиптического типа.
Если считать пространственную геометрию сферической, то согласно (138.6)
можно вычислить собственный пространственный объем эйнштейновской
Вселенной
2л л я
уо = I С I R3sin2%sin0<i%<iO<icp = 2л2^3 (138.10)
ООО
и собственную кругосветную длину Вселенной *)
Io=2kR. (138.11)
При эллиптической геометрии соответствующие величины будут в два раза
меньше, и эта разница могла бы в принципе служить критерием, позволяющим
выявить, какого же типа геометрия имеется на самом деле.
Если кроме пространственноподобных координат учесть еще и
времениподобные, то полную пространственно-временную геометрию Вселенной
Эйнштейна можно рассматривать как геометрию четырехмерной цилиндрической
поверхности, погруженной в пятимерное пространство.
Вероятно, исследование сущности геометрии, порождаемой эйнштейновским
интервалом, интересно главным образом потому, что мы при этом получаем
дополнительные аргументы для интуитивного понимания однородности модели.
Например, из симметричной формулы интервала (138.9) непосредственно
*) Собственная кругосветная длина Вселенной определяется как
2л
>0 = f Kd<f 0
и является длиной большого круга трехмерной сферической поверхности п
четырехмерном пространстве. Аналогичная собственная кругосветная длина
двумерной сферической поверхности, погруженной в трехмерное пространство
(иными словами, собственная кругосветная длина сферы), равна длине
большого круга 2nR. Если противоположные точки сферы отождествить
(эллиптическое пространство), то отправляясь от Северного полюса, мы
попадаем на Южный, который по определению совпадает с Северным. При этом
собственная кругосветная длина оказывается в два раза меньше, т. е. яR.
(Прим. перев.)
346
ГЛ. X. КОСМОЛОГИЯ
следует, что при переходе обратно к координатам г, 0, ф, t можно выбирать
начало отсчета пространственных координат и времени где угодно, а это,
конечно, согласуется с нашими исходными требованиями, чтобы модель была
статична и однородна.
Заметим в заключение, что для многих практических нужд не нужно выходить
за рамки тех результатов, которые можно получить обычными аналитическими
методами непосредственно из дифференциальной формы для интервала, и нет
никакой надобности рассматривать геометрию в целом.
