Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Уже из этих простых исходных данных можно вывести все возможные варианты
статической однородной модели Вселенной, если учесть следующие три
условия. Именно: во-первых, давление ро, измеряемое локальным
наблюдателем, должно быть одинаково во всех точках пространства, так как
предполагается, что модель однородна; во-вторых, по той же самой причине
и собственная макроскопическая плотность вещества роо должна быть всюду
одинаковой; и, в-третьих, интервал ds2 при малых г должен приводиться к
виду, который он имеет в плоском пространстве--времени специальной теории
относительности, где A,=v=0, так как если мы пренебрегаем локальными
гравитационными полями, то в малых областях пространства - времени должна
быть, как было постулировано, справедлива специальная теория
относительности.
Так как согласно первому условию ро должно иметь одно и то же значение во
всем пространстве, то уравнение (134.4) может
(134.2)
(134.3)
(134.4)
§ 135. эйнштейновский интервал
341
быть удовлетворено, только если будет выполнено равенство
?2i±P-V = 0, (134.5)
а это в свою очередь возможно только в трех случаях: когда
либо v', либо (роо+Ро), либо и то и другое-равны нулю.
Этим трем вариантам:
v'=0, (134.6)
или
Роо+Ро=0, (134.7)
или
v/==0, роо+Ро-0, (134.8)
и соответствуют, как мы сейчас покажем, три упоминавшиеся модели, т. е.
модель Эйнштейна, модель де Ситтера и специальной теории относительности.
§ 135. Эйнштейновский интервал
Сначала мы можем найти выражение для интервала ds2 в первом, т. е.
эйнштейновском, случае:
v'=0. (135.1)
Интегрируя это уравнение и помня, что при малых г интервал ds2 должен
быть таким же, как в специальной теории относительности, т. е. v=0,
получаем единственное решение:
v = const=0. (135.2)
С другой стороны, подставляя (135.2) в уравнение для давления (134.2) и
решая его, получим
е~х- 1 - (А-8лр0) г2. (135.3)
Если теперь для удобства определить новую константу R-.
Л - 8лр0 = -^тр, (135.4)
то для интервала ds2 можно написать окончательное выражение:
А г2
ds2 = - j 2. ~ r2dQ2 - г2 sin2 в dtp2 + dt2. (135.5)
Это - одно из хорошо известных выражений для интервала ds2 в статической
эйнштейновской Вселенной [81], и мы в дальнейшем еще раз вернемся к нему,
чтобы обсудить некоторые его свойства.
342 гл. х. космология
§ 136. Интервал в пространстве де Ситтера
Теперь рассмотрим выражение для деситтеровского интервала ds2. Оно
соответствует случаю, когда выполняется равенство
роо+/°о=0' (136.1)
Сложив выражения (134.2) и (134.3) для роо и ро и приравняв их сумму
нулю:
8л (Роо + Ро) = е~х i~ + 7-) = 0.
получим уравнение Л'=-v'. Так как К и v должны обе обращаться в нуль при
г=0, чтобы интервал ds2 при г=0 переходил в интервал специальной теории
относительности, это возможно лишь при
*,=-V. (136.2)
С другой стороны, роо должна быть всюду одинаковой, т. е. константой,
поэтому уравнение (134.3) легко интегрируется, и в результате получается
решение, которое нетрудно проверить прямой подстановкой:
_ _ х 1 _ Л 4- 8зтр00 2 .
е - 1 з г т ,
где А - постоянная интегрирования. И, опять используя тот факт, что при
малых г выражение для ds2 должно быть таким же, как в специальной
теории относительности, где a=v = 0,
мы с необходимостью приходим к выводу, что А = 0.
Отсюда,
вспоминая (136.2), мы сразу получаем
е-\ = ev = i _ Л_+ 8"Ро. Л2, (136.3)
Это позволяет написать окончательный результат для интервала ds2.
Определив для удобства новую постоянную R с помощью выражения:
A±|gPoa. = -±-, (136.4)
перепишем ds2 окончательно в виде
as2 = - ^ _^V5 - гЧ62 - г2 sin2 9 dif2 + (l -~^г2. (136.5)
В результате получено одно из хорошо известных выраже-
ний для деситтеровского интервала ds2 [82], и мы впоследствии вернемся к
нему, чтобы обсудить некоторые его свойства.
§ 138. ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ ЭЙНШТЕЙНА
343
§ 137. Интервал в специальной теории относительности
Наконец, мы можем перейти к третьему варианту статической однородной
Вселенной, в котором согласно (134.8) требуется выполнение обоих
равенств:
v'=0, роо+Ро^^О. (137.1)
Здесь, однако, мы можем считать, что справедливы и уравнение (135.2)
эйнштейновской модели и уравнение (136.2) деситтеровской модели; поэтому
в качестве полного решения можем взять
^=v = 0, (137.2)
что приводит к интервалу специальной теории относительности
ds2--dr2-r2dQ2-г2 sin20 d<$2-\-dt2, (137.3)
который соответствует абсолютно пустому плоскому пространству-времени
специальной теории относительности.
Итак, в согласии с § 134 мы описали все три возможные статически
однородные Вселенные*), поэтому, когда в дальнейшем станет ясно, что ни
один из этих вариантов не дает удовлетворительного отображения реальной
Вселенной, нам придется обратиться к моделям более широкого класса.
Теперь можно сделать краткий обзор некоторых важнейших свойств
эйнштейновского и деситтеровского интервалов (интервал специальной теории
относительности является их частным случаем и получается при стремлении
