Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 139. Плотность и давление материи в эйнштейновской Вселенной
Рассмотрим теперь физические свойства эйнштейновской
Вселенной, исследуя законы, которым подчиняются давление и плотность
материи в этой модели.
Возвращаясь к общей формуле интервала (134.1):
ds2=-eldr2-r2dQ2-r2 sin2 0 dq>2-\-evdt2, (139.1)
и подставляя величины, найденные в § 135:
е~х = 1 и v = 0, (139.2)
в формулы для плотности и давления (95.13), легко получаем
8лд0 = --^г+Л (139.3)
и
8пр00 = -| А. (139.4)
Уравнения (139.3) и (139.4) через посредство двух констант/? и А выражают
собственное давление и собственную плотность материи, заполняющей
пространство. Эти уравнения могут быть разрешены относительно этих двух
констант следующим образом:
А = 4л (р00 + Зр0) (139.5)
и
= 4л (р00+р0). (139.6)
Так как плотность материи роо, заполняющей модель, может быть только
положительной, а давление ро тоже должно быть положительным (хотя при
допущении в разумных пределах сил сцепления ро может быть отрицательным,
но лишь в незначительной степени), то мы вправе сделать вывод, что Ли/?2
должны быть существенно положительными величинами.
§ 139. ПЛОТНОСТЬ И ДАВЛЕНИЕ МАТЕРИИ
347
Если рассматривать А и R2 в качестве свободных параметров, то с их
помощью можно добиться того, чтобы в этой модели материя обладала любыми
наперед заданными значениями давления и плотности.
Так, например, если мы предположим, что материя состоит из пылевидного
вещества, не производящего никакого давления, скажем из свободных частиц
(звезд), имеющих незначительное относительное движение (именно это
первоначально и предполагал Эйнштейн), то мы должны будем заключить из
прк-приведенных выше уравнений, что
А = (139.7)
к
4яРоо = (139.8)
и согласно (138.10) полная масса Вселенной при этом оказывается равной
м = Роо^о = 4" (139.9)
С другой стороны, если предположить, что пространство заполнено только
излучением, для которого отношение плотности к давлению имеет
максимальное значение (по сравнению с какими-либо другими видами
материи):
Роо - Зро,
то можно получить, что
А=2|г (139.10)
и
4яРо ~ 4^2 > 4яРоо = 4^2 • (139.11}
На примере уравнений (139.8) и (139.11) еще раз видно, что,
как было впервые упомянуто в § 110, излучение приводит
к большему искривлению пространства, нежели обычное вещество с той же
плотностью.
Наконец, если мы предположим, что пространство совершенно пустое, т. е.
р0о и ро оба равны нулю, то
Л - = 0, (139.12)
и эйнштейновская Вселенная в этом случае вырождается в плоское
пространство - время специальной теории относительности.
348
ГЛ. X. космология
Из результатов этого параграфа можно сделать несколько важных выводов.
Во-первых, видно, что общая теория относительности в принципе позволяет
строить модели со свойствами, похожими на свойства реальной Вселенной,
хотя бы уже в том, что они могут содержать материю, распределенную
однородно и с конечной плотностью. Во-вторых, поскольку R2 должен быть,
как легко видеть, положительным и конечным (за исключением вырожденного
случая абсолютно пустой Вселенной), то радиус R должен быть
действительным; а это значит, что эйнштейновская Вселенная неограничена,
но тем не менее замкнута и обладает конечным объемом. Наконец, легко
видеть, что космологическая постоянная Л непременно должна быть больше
нуля, если мы хотим, чтобы модель содержала хоть какое-нибудь количество
материи. Это было, по-видимому, сильнейшим аргументом для Эйнштейна,
когда он ввел в свое уравнение столь неожиданный, хотя формально и
непротиворечивый, космологический член. Если мы в дальнейшем найдем
модели, в которых для описания материи нет необходимости вводить Л-член,
то мы чаще всего будем полагать его равным нулю.
§ 140. Частицы и свет в эйнштейновской Вселенной
Продолжим исследование физических свойств эйнштейновской Вселенной.
Рассмотрим движение частиц и распространение света в этой модели.
Согласно (74.13) движение свободных частиц в гравитационном поле,
соответствующем эйнштейновскому интервалу
определяется уравнением геодезической
Будем главным образом интересоваться тем случаем, когда частицы, по
крайней мере в первый момент, покоятся, т. е. пространственные компоненты
"скорости" частицы dr/ds, dQ/ds и dy/ds равны нулю. Тогда уравнение
геодезической приведется к следующему виду:
ds~
1 Jrrl/Ri ~ rW - г2 sin2 0 dф2 -f dt2, (140.1)
(140.3)
Однако, как следует из общих выражений (95.2) для символов Кристоффеля,
символы вида в случае, когда метрика
§ 140. ЧАСТИЦЫ И СВЕТ В ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ ВСЕЛЕННОЙ 349
определяется интервалом Эйнштейна (140.1), тождественно обращаются в
нуль. Это приводит к заключению, что покоящиеся частицы будут иметь
ускорение, тождественно равное нулю:
= ^ = ^ = <140-4)
и, следовательно, будут и дальше оставаться в покое.
Этот вывод очень важен, так как от эйнштейновской Вселенной нельзя было
бы ожидать, что она будет оставаться в предполагаемом статическом
состоянии, если бы свободные частицы в ней не сохраняли состояния покоя.
