Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
интервалов времениподобных, измеряемых с помощью часов.
Наконец, рассмотрим интересное и важное преобразование координат,
открытое независимо Лемэтром [87] и Робертсоном [88] (Робертсон
исследовал это преобразование наиболее полно) . Оно имеет следующий вид:
г = т e~i R, t = t+ R ln]/l - г2//?2, (142.8)
У 1 - r2;R2
и приводит к выражению для интервала
ds2 = - e^IR (dr2 -j- r2d02 г2 sin2 Qd Ф2) - dl2.
Если опустить черту над гиги ввести для простоты
то интервал можно переписать следующим образом:
ds2= - e2ki (dr2-\-r2d02+r2sin20 dq>2)-\-dt2, (142.10)
или, после еще одного очевидного преобразования, несколько иначе:
ds2 --e2ht (dx2-\-dy2-\-dz2) +dt2. (142.11)
Из последней формулы видно, что гравитационные потенциалы guv уже не
являются не зависящими от координаты t. Это, однако, не должно особенно
смущать, так как подобного рода зависимость статического интервала от
времени возникает всегда при преобразовании системы отсчета, если новые
координаты зависят не только от пространственноподобных, но и от
времениподобных старых координат*). Однако, как показал
*) Другую нестатическую форму для интервала можно найти в работе [89].
§ 143. ОТСУТСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ
355
Робертсон, в данном случае свойства пространства, определенного с помощью
(142.10), в некотором смысле не зависят от нового времени t, так как
преобразование
г = re*'*, t = t - t0,
которое можно интерпретировать как изменение пространственного масштаба в
комбинации со сдвигом начала отсчета вре-мениподобной переменной,
оставляет форму интервала неизменной.
Робертсон предложил называть выражения (142.10) и (142.11) для интервала
стационарными, а не статическими. Это название, однако, не следует путать
с другим термином (см. [36], стр. 244) "стационарный", введенным для
обозначения интервала, в котором метрика g^ не зависит от координаты хА,
причем компоненты gi4, g24, gu отличны от нуля (если эти компоненты равны
нулю, то интервал называется статическим). В дальнейшем мы еще найдем
применение робертсоновской форме интервала де Ситтера (§§ 144 г, 183 и
184).
§ 143. Отсутствие вещества и излучения в деситтеровской Вселенной
Теперь мы должны обратиться к физическим свойствам деситтеровской
Вселенной, т. е. исследовать вопрос о веществе и излучении в этой модели.
Определение модели де Ситтера, которое позволило в § 136 получить
выражение деситтеровско-го интервала, было сформулировано в § 134 после
исследования общих условий существования однородных статических моделей.
Согласно этому определению модель де Ситтера - это такая модель, в
которой собственное давление и плотность связаны соотношением
роо+Ро=0. (143.1)
Собственная плотность материи роо по своей физической природе может быть
только положительной или нулем. Давление в принципе может быть и
отрицательным. Однако ни один из существующих видов материи, который мы
здесь представляем себе как идеализированную жидкость, даже если примем
во внимание внутренние силы сцепления, не может создать такое
отрицательное давление, которое в принятых единицах хотя бы отдаленно
приближалось по абсолютной величине к плотности. Следовательно, условие
(143.1), очевидно, может выполняться только в том случае, если
одновременно
роо=0 и Ро-0-
(143.2)
23*
356
ГЛ. X. космология
А это означает, что Вселенная должна быть абсолютно пустой, т. е. она не
может содержать заметного количества вещества или излучения.
Вследствие того, что р0о оказывается равной нулю, уравнение (136.4),
связывающее космологическую постоянную и радиус Вселенной, упрощается.
Постоянная R в деситтеровском интервале
ds2 = - - r2d№ - г2 sin2 6 drp2 + (1 - j^jdt2 (143.3)
выражается через космологическую постоянную следующим образом:
3^=4. (143.4)
Поэтому деситтеровская модель может быть пространственно закрытой, если
Л>0, может выродиться в открытое плоское пространство специальной теории
относительности, если Л-О, и может оказаться открытой, но искривленной,
если Л меньше нуля. В дальнейшем мы будем полагать Л положительным и R
действительным, что соответствует закрытой модели.
Интересно отметить в согласии со (143.4), что внешнее шварцшильдовское
решение (96.3)
ds2 =-------2т "Лг*~ ~ rW ~ г*sin2 6 d(p2 + ( 1 ~ Т ~ S)dt2
(143.5)
для статического поля в пустом пространстве вокруг материальной сферы
переходит в деситтеровский интервал ds2 абсолютно пустой Вселенной, если
массу m материальной сферы, помещенной в начале координат, устремить к
нулю. Выражение
(143.5) интересно тем, что оно представляет собой конкретный, хотя и
не бог весть какой важный, пример интервала в неоднородной модели.
§ 144. Пробные частицы и световые лучи в деситтеровской Вселенной
а) Уравнения геодезической. Как было показано, деситтеровский интервал
отвечает абсолютно пустой модели; поэтому, если внести в нее такое
количество вещества и излучения, какое имеется в реальном мире, это
вызовет существенные искажения, о чем будет еще идти речь впереди (§
