Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
с помощью принципа ковариантности, что бQ0
304
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
всегда есть скаляр, величина которого пропорциональна величине бл:1 6x26-
v36jc4 и не зависит никоим образом от системы координат.
В самом деле, во-первых, стоящие в (121.1) величины (tfodx^/ds) ^ и Т0 с
необходимостью скалярны и значения их никак не связаны с выбором системы
отсчета, поскольку первая из них - свернутая ковариантная производная от
вектора, а относительно второй четко указано, как она может быть измерена
локальным наблюдателем. Во-вторых, заметим, что величина У- g
бх'бл:2бл:3бх4 также скалярна и численное ее значение пропорционально
бесконечно малому элементу объема бх'б^б.^бх4 и не зависит от выбора
координатной системы, поскольку она является выражением четырехмерного
объема в естественной мере. Таким образом, последняя не рассмотренная еще
в этом выражении величина 6Qo в соответствии с принципом ковариантности
также должна быть скаляром, с численным значением, пропорциональным
бесконечно малому элементу объема блг'бд^б^бл:4, и не должна зависеть от
используемой системы координат так, чтобы постулированный нами закон,
удовлетворяя требованию ковариантности, имел одинаковый смысл во всех
системах координат.
Показав, что величина 6Qo скалярна и значение ее не зависит от выбора
системы координат, можно теперь определить ее значение в любой удобной в
данном случае системе координат. Для этого зададим рассматриваемую точку
в естественных координатах х, у, z, /; из принципа эквивалентности
следует, что такие координаты можно ввести всегда. В естественных
координатах термодинамические законы, сформулированные с помощью
специальной теории относительности, остаются справедливыми в малой
окрестности изучаемой точки. Ковариантное дифференцирование в этих
координатах сводится к обычному дифференцированию, а величина У- g
равняется единице, так что левая часть в выражении второго закона (121.1)
преобразуется к виду
(фо -%) г (фо4г) +
+ ЧГ (ч>0 ¦%) -r-k ('Ро чг)} bx 6У 62б/- (121 -2)
Подставим сюда очевидные выражения
dx dt dy _ dt dz dt
47 " Ux~dT' ds " Uy 47' 4s U2 ds '
где ux, uv и иг - компоненты скорости жидкости, записанные в
§ 121. К ИНТЕРПРЕТАЦИИ ТЕПЛОТЫ
305
обычном виде. Тогда правая часть (121.2) переписывается так:
д
дх
^ф0- U]
dt
ds
д
ду
dt \ . д
'Ро1Г"* ) + -дГ
Фо'
dt
ds
UZ
д
St
Фо~Зг)]
Однако согласно специальной теории относительности энтропия инвариантна
относительно преобразований Лоренца, а следовательно, плотность энтропии
должна содержать множитель лоренцева сокращения ds/dt, так что можно
положить
dt
Ф= Фо-dP
где ф - плотность энтропии жидкости в выбранной нами системе координат.
Производя эту подстановку, получаем вместо при-веденного выше выражения
[4-(fpu^ + W ^ + ~k (ф"г) +
ot
Ьх by Ьг Ы,
что можно переписать следующим образом:
дф
dt
<3ф
~дГ
+ ~д:у и"
Лф
дг
иг +
или в виде
Цф
dt
-i- ф + Ф div u
ди"
дих дх ' ду
bx by bz bi,
02
Ьх Ьу bz Ы,
где под полной производной d(p/dt подразумевается скорость изменения
плотности энтропии в точке, движущейся вместе с жидкостью.
Вводя обозначение 6и для объема жидкости, совпадающего в данный момент с
координатным элементом пространства ЬхЬуЬг, получаем
d ф dt
bt
d
dt
(фбп) bt,
откуда находим окончательно dx*
Фо
ds
Y - g ЬхгЬх2Ьх3Ьх* = -jj- (ф bv) bt (121.3)
в качестве выражения левой части релятивистского второго закона (121.1) в
естественных координатах для данной точки.
Отсюда видно, что левая часть выражения для второго закона отразит то
возрастание за время bt, которое совершится с энтро-
306
ГЛ. IX. релятивистская термодинамика
гшей малого элемента жидкости, занимающей пространственный объем бябг/бг.
Далее, в соответствии с принципом эквивалентности к данной малой системе
можно применить специальную релятивистскую термодинамическую теорию и
связать возрастание энтропии в этой системе с теплотой и температурой
посредством соотношения
(121.4)
где бQ - теплота, поглощаемая этим элементом жидкости за время Ы при
температуре Т, причем все эти три величины заданы в выбранной нами
системе отсчета. Далее, так как отношение теплоты к температуре
инвариантно при преобразованиях Лоренца, то мы можем считать
6 q 6Q0
(121.5)
где 6Qo и Т0 - поглощаемая теплота и температура, которые измеряются
локальным наблюдателем в системе собственных координат данного элемента
жидкости.
Кроме того, в силу лоренцева сокращения элемента объема и лоренцева
удлинения времени можно написать
6у6^=6с"о6/о, (121.6)
где Svo - объем рассматриваемого элемента жидкости, измеренный в системе
собственных координат, а б^о- отрезок собственного времени, за который
происходит передача теплоты.
Итак, собирая все выражения (121.3) - (121.6), мы получим в естественных
координатах соотношение
V-SW6х°-ёх°6х* (121.7)
совпадающее по форме с постулированным выше релятивистским вторым
законом. При этом величина бQ0, стоящая в правой части, означает, как и
