Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
очевидно, считать, что вариация бр в уравнении (126.16) не зависит от
6с?.
§ 127. Химическое равновесие в гравитирующей жидкой сфере
Теперь мы применим общее условие равновесия, полученное в предыдущем
параграфе, к исследованию химического равновесия между реагирующими
веществами, которые находятся внутри гравитирующей жидкой сферы.
Поскольку вариации бр и 6с° в (126.16) следует рассматривать как
независимые, ясно, что второй интеграл в этом выражении можно считать
равным нулю, а это возможно лишь при условии
которое должно выполняться для любого значения г. Индекс р в этом
выражении указывает на то, что дифференцирование производится при
постоянных значениях плотности энергии и Удельного объема. Сравнивая
(127.1) с (60.15), убеждаемся в том, что полученное соотношение совпадает
с классическим
(127.1)
318
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
условием химического равновесия, если считать, что плотность энтропии и
значения концентраций измеряются локальным наблюдателем, покоящимся в
рассматриваемой жидкости. Таким образом, с точки зрения локального
наблюдателя, условие химического равновесия между реагирующими веществами
в любой точке гравитирующей жидкой сферы не отличается от найденного
ранее в классической термодинамике.
Это еще один пример того, как часто релятивистский анализ, проводимый
методом введения локального наблюдателя, дает те же выводы, что и
классическая теория. Правда, этого и следовало ожидать, поскольку в
аксиоматическую основу общей теории относительности с самого начала был
заложен принцип эквивалентности, и им вполне надежно можно
руководствоваться в тех случаях, когда мы уверены, что рассматриваемое
явление не зависит от производных от g^v выше первой.
Выяснение того обстоятельства, что положение в гравитационном поле прямо
не влияет на условия химического равновесия, весьма важно, так как при
рассмотрении моделей звезд это обычно принимают без доказательства. В
качестве следствия этого обстоятельства, отметим, что полученные ранее
критерии равновесия между водородом и гелием, а также между веществом и
излучением применимы и к звездам. Следовательно, трудности, с которыми мы
столкнулись при нахождении относительных концентраций, остаются и здесь.
Мы убедимся в последней главе, что условия химического равновесия в
статических космологических моделях подобны обсужденным в этом параграфе.
§ 128. Тепловое равновесие в гравитирующей жидкой сфере
Мы можем также использовать общее условие термодинамического равновесия,
полученное в § 126, для исследования распределения температуры в жидкой
сфере, которая пришла в состояние теплового равновесия. Воспользуемся
опять-таки тем, что вариации бр. и б с? в (126.16) следует считать
независимыми. Тогда можно сделать вывод, что первый интеграл в этом
выражении равен нулю. Последнее, однако, может выполняться лишь при том
условии, что во всех точках внутри сферы имеет место соотношение
_TL {е^ V - 4lt (Pot±.3?sL ет ** г2. (128.1)
Чтобы представить соотношение (128.1) в виде, удобном для интегрирования,
преобразуем его правую часть: подставим из (126.9) в сумму (роо+Зро)
выражение для роо, а Зро заменим
§ 128. ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЖИДКОИ СФЕРЕ
319
первым выражением для р0 и удвоенным вторым выражением для ро. В
результате получим
(д V- (-и=- (- +-) г2 =
dr V dr \Т0 )\ Г0 V 2 1 4 ' 4 г J
(128.2)
Первый интеграл этого уравнения, очевидно, выглядит так:
1,1 , 4" ^ /1
е (V" fiV
То V 2 1 4 ' "
1 е d {Л" • 0
II ч о dr Iе rl
••"'•''•-Я?г)-ЧЧЛ'*')+*
где В - постоянная интегрирования. Это выражение можно переписать в
эквивалентной форме:
nar^-lr-^- Ве * г** Т°• (128-3>
Соответствующие подстановки из (126.9) позволяют привести его к виду
1 1
ц v
d In То _ 1 dp0 Be 2 2 Гр
dr Роо 4" Ро dr
А
Далее, если из физических соображений следует, что в
центре
сферы (при г=0) производные dToldr и dpoldr равны нулю,
а Т0 отлична от нуля и остальные функции г конечны, то ясно, что
постоянную В следует приравнять нулю. Тогда последнее выражение для
зависимости собственной температуры от координаты внутри статической
жидкой сферы, находящейся в тепловом равновесии, задается следующими
уравнениями:
d In Г0 _ 1 dv
dr 2 dr ' (128.4)
d In Tq 1 dpQ /1 no e\
-ir-~-^T7o~dF' (l28-5)
и после второго интегрирования в виде соотношения
Т0е2 V = T0VJ7i = C, (128.6)
где С - еще одна постоянная интегрирования.
320
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ термодинамика
Любопытно было бы, конечно, исследовать, возможны ли физически интересные
решения при отличной от нуля постоянной интегрирования В. Однако
очевидно, что найденные простые соотношения вполне пригодны в случае
обычных непрерывных распределений.
Первое, что мы отметим, подводя итоги,- это тот важный вывод, что
собственная температура жидкости, измеряемая локальным наблюдателем,
использующим обычные методы тепловых измерений, не может быть постоянной
повсюду в жидкой сфере, которая находится в состоянии теплового
