Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирования, включающие всю интересующую нас область, лежали бы на
реальной граничной поверхности, отделяющей эту область от окружающей
среды. Такого рода координаты были использованы в § 123 для получения
условий (125.2). Используя выбранную выше форму интервала, мы имеем
3,1 1
1Г 2^ 2 dt ~ 2 v / ю д д\
V-g = e и-7Г = е ; (126.3)
второе соотношение следует из равенства нулю пространственных компонент
"скорости" рассматриваемой жидкости. Подставляя Эти соотношения в (125.1)
и учитывая (125.2) и (126.2), получаем условие статического
термодинамического равновесия в виде
з
•Ш
Ф0е2 dxdydz = 0 (126.4)
при дополнительных условиях на границе области интегрирования
6p=6p' = 6p//=6v = 6v/=6v" = 0, (126.5)
где штрихи означают дифференцирование по радиусу
г = УX2 Т- Уг + 2г.
При нахождении условий равновесия мы вводим координаты х, у, z, t,
поскольку, как отмечалось выше, они того же типа, что применялись при
получении соотношений (125.2). Для упрощения дальнейших рассмотрений
лучше перейти к полярным координатам г, 0, ф, t. Прежде всего перепишем в
этих координатах выражение для интервала:
ds2=-е"(dr2-\-r2dQ2jrг2 sin2 Qdq>2)-\-evdt2, ,.чс с,
/ ч (120.0)
(1 = (!(/¦), v = v(r).
Выбирая затем область интегрирования в виде сферического слоя,
заключенного между радиусами т\ и г2, перепишем условия статического
равновесия в случае сферического распределения жидкости следующим
образом:
r> i_u
¦2 гЧг= 0 (126.7)
6 J 4яф0е
при дополнительных условиях
6p,=6|x/=6p"=6v = Sv/-Sv"=0 (в точках т\ и г2). (126.8)
$ 126. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 315
Чтобы можно было применить критерий (126.7), надо задать в явном виде
зависимость подынтегрального выражения от формы интервала и от состава
жидкости.
Для этого, во-первых, перепишем выражения (95.15) для собственного
давления ро и собственной макроскопической плотности роо жидкости в
соответствии с принятой выше формой интервала:
8^,c-"(i^+^ + 2L! + t±X),
(126.9)
8лрао= - е~" (у" +~ +
dPo _ Роо + Ро ..г
dr 2
Во-вторых, воспользуемся формулой (51) из Приложения III, которая
определяет бесконечно малый собственный пространственный объем жидкости,
расположенный между радиусами г и r-\-dr:
з_
и0 = 4яе2 "г" dr. (126.10)
С ее помощью выразим собственную энтропию этого сферического слоя
жидкости, определяемую локальным наблюдателем, в следующем виде:
з_
S0 - 4жр0е2 г2 dr. (126.11)
Обе величины, введенные с помощью (126.10) и (126.11), естественно,
являются бесконечно малыми. Далее, отметим, что собственная энтропия
элемента жидкости зависит от собственной его энергии, объема и состава
тем же самым образом, что и в классической термодинамике (ср. с (60.4)).
Следовательно, когда нам надо будет вводить вариацию выражения (126.11) в
условие равновесия (126.7), мы сможем написать:
5 пп, 026.12)
где Т0-собственная температура данного слоя жидкости, измеряемая
локальным наблюдателем; Е0 - собственная энергия этого слоя; щ, П2 и т.
д.- концентрации различных веществ, выраженные в молях, определяющие
состав жидкости. Далее, согласно
S 5П
т 6 Е0
Ро
То
dS0 dn!
?o.t>o
5^1
dS0
дп.
n JE0
316
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
(126.9) оудем считать, что б?о в этом соотношении имеет вид
Тогда, подставляя найденные выражения в (126.11), окончательно находим
энтропии по концентрации i-й компоненты, взятая при постоянной плотности
энергии и постоянном удельном объеме; последнее обстоятельство в правой
части обозначено подстрочным индексом р., так как плотность энергии и
удельный объем определяются величиной р и ее производными.
Используя эти соотношения, мы можем переписать полученное ранее условие
равновесия (126.7) в виде
Упростим это выражение обычным способом: проинтегрируем его по частям и
опустим члены, обращающиеся в нуль из-за граничных условий; в самом деле,
подставляя
1
ег Ч
/ ' \
~~2~ (бр" -г -тр (r)Р; + ~ бр'j + 2яр00е2 бр r2dr, (126.13)
а бо0, в соответствии со (126.10), равняется
(126.14)
(126.15)
где (д<р0/5с?)ц-частная производная от собственной плотности
I
е
2 Г0
2
(бр" -1- -у бр' + -у- бр') +
f 4я бc°i е2 Д гЧг = о.
I
6р"=-±.(бр'), бр' (бр)
§ 127. ХИМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ В ЖИДКОЙ СФЕРЕ
317
и используя граничные условия (126.8)
6р'-6р=0 (при г, равном гх и г2), нетрудно найти, что
f
6с? е2 * гЧг = 0. (126.16)
Это и есть записанное в окончательном виде условие термодинамического
равновесия для жидкой сферы.
В процессе получения этого выражения мы убедились в том, что вариации
собственной энергии б?о и собственного объема бос, появляющиеся в
(126.12), обе внесли вклад в вариацию метрической переменной р; вариации
же количества молей различных компонент 6nh входящих в состав
рассматриваемой жидкой оболочки, ограниченной радиусами г и r-\-dr,
приводят к вариациям 6с? , которые определяют изменения концентрации для
каждого значения г. Так как Е0 и о0 первоначально были введены как
переменные, которые не зависят от значений nh определяющих состав, можно,
