Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
она ограничивалась рассмотрением лишь покоящихся систем.
Для полной аналогии с классическим первым законом термодинамики нам нужно
еще установить и в релятивистском случае различие между тепловым потоком
и совершаемой работой. Однако решение этого вопроса пока придется
отлождть, так как существо этого различия станет ясным лишь в ходе
релятивистского обобщения второго закона термодинамики.
§ 119. Релятивистский аналог второго закона термодинамики
Начнем с того, что выпишем четырехмерную формулировку второго закона
термодинамики, данную в § 71 в галилеевых координатах-.
^{ч^)ЬхЬУЬгЫ>^Т7- (119Л>
Здесь ф0 - собственная плотность энтропии в заданной точке в интересующий
нас момент времени, измеряемая локальным
300
ГЛ. IX. релятивистская термодинамика
наблюдателем, покоящимся относительно термодинамической жидкости или
рабочего вещества; dx^/ds- компоненты макроскопической "скорости"
жидкости в данной точке в используемых координатах; бQ0 - собственная
теплота, измеряемая локальным наблюдателем, которая поступает в изучаемый
элемент жидкости при собственной температуре Т0 за интервал времени
наблюдения, входящий в формулу четырехмерного объема SxSySzbt, а два
знака--равенства и неравенства - относятся к случаям обратимых и
необратимых процессов соответственно.
Кроме того, чтобы получить релятивистский аналог второго закона, надо
привлечь обе фундаментальные идеи общей теории относительности,
выражаемые принципом ковариантности и принципом эквивалентности. Согласно
принципу ковариантности выбираемые аксиомы должны быть записаны в виде,
общем для всех систем координат, во избежание неявных предположений,
которые могут быть связаны с определенным выбором системы координат.
Согласно же принципу эквивалентности эти аксиомы следует выбирать так,
чтобы они совпадали с соответствующими выражениями специальной теории
относительности при введении естественных координат в рассматриваемой
точке.
Из сказанного вытекает, что корректное выражение второго закона
термодинамики в общей теории относительности можно получить, просто
записав формулу, найденную в специальной теории относительности (119.1),
в ковариантном виде [77]:
(ф0 У - S МбхЧЖх* > (119.2)
Вводя вектор энтропии
S>* = <P"4f. (119'3>
придадим (119.2) более компактную форму:
(c)Лб*16хабх*б*">-^2-. (119.4)
* 0
Последнее выражение удовлетворяет, очевидно, принципу ковариантности,
поскольку оно является тензорным выражением
ранга нуль, ибо (qpodx^/ds)^ есть скаляр как свернутая ковари-
антная производная от вектора; величина У-g 6x1Hx2dx56xi есть скаляр, так
как представляет собой элемент четырехмерного объема, выраженный в
естественной мере *), и, наконец, величина 6Qo/7'0 - также скаляр, что
очевидно ввиду ее независимости от
*) V-g есть якобиан преобразования от прямоугольных координат, в которых
элемент объема равен бх'б^б^бх4. (Прим. ред.)
§ 120. к ИНТЕНПНЕТЛЦИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ВТОРОГО ЗАКОНА 301
конкретного задания системы координат. Полученное выражение удовлетворяет
также принципу эквивалентности, так как, будучи записанным в естественных
координатах любой заданной точки, оно переходит в формулу (119.1)
специальной теории относительности (свернутую ковариантную производную
(фоdx^jds)^ для этого надо заменить обычной дивергенцией, а величину У-g
положить равной единице).
Итак, выражение (119.2) удовлетворяет всем условиям, выполнения которых,
как мы теперь знаем, надо потребовать, а потому оно может быть принято в
качестве формулировки релятивистского второго закона термодинамики.
Отметим, что эта формулировка не является единственной, так как можно
построить другие, более сложные ковариантные выражения, которые в случае
плоского пространства - времени также переходят в формулировку второго
закона в специальной теории относительности. Следовательно, введенное
выражение (119.2) надо рассматривать как постулат, о полной
справедливости которого можно судить лишь на основе результатов
наблюдений.
Подчеркнем все же, что мы выбрали разумный путь, приняв непосредственную
ковариантную формулировку второго закона специальной теории
относительности: наш предыдущий опыт ковариантной формулировки
релятивистских выражений для пространственно-временного интервала и
геодезических линий вселил в нас уверенность, что, когда такая процедура
возможна, она приводит к правильному результату. Отметим также, что
теоретические следствия, вытекающие из постулированного в таком виде
релятивистского закона, не противоречат остальным результатам теории
относительности, В частности, мы найдем такие примеры, когда выводы
релятивистской термодинамики можно проверить методами одной только
релятивистской механики.
В заключение заметим, что для практических приложении обычно выгоднее
использовать следующую, эквивалентную (119.2), форму:
дИ* (фо ЧГ ^хгбх36х4 > , (119.5)
которая выводится с помощью уравнения (46) из Приложения III.
§ 120. К интерпретации релятивистского второго закона термодинамики
