Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
полагается, теплоту'(измеряемую локальным наблюдателем в данной точке в
определенный момент времени), которая втекает в элемент жидкости,
занимающий собственный объем би0, за интервал собственного времени 8t0.
Пространственные и временные интервалы при этом определены
так, что ___
бп0б/0 = биб/ = У-g 8хЧх'^хЧх*. (121.8)
Соотношение (121.7) выделено нами с помощью естественных координат. Тем
не менее, если вспомнить, что величина 6Qo, как мы ранее установили,
является скаляром, этот вывод становится справедливым для любой системы
координат. В самом деле, мы
§ 122. О ПРИМЕНЕНИИ СОПУТСТВУЮЩИХ СИСТЕМ КООРДИНАТ
307
не накладывали никаких ограничений на форму рассматриваемого элемента
жидкости, так как поглощаемая теплота для рассматриваемых масштабов
величин зависит лишь от произведения объема на временной интервал.
Далее, так как SQo- это теплота, поглощаемая определенным элементом
жидкости, то, как и в обычной термодинамике, тепловой поток надо
рассматривать относительно интересующих нас жидкости или рабочего
вещества, а не относительно выбранной системы пространственных координат.
И наконец, чтобы избежать неопределенностей, которые могут возникать при
интегрировании выражения второго закона, отметим еще одно обстоятельство.
Именно, при интегрировании второго закона каждый бесконечно малый элемент
теплоты, входящий в рассматриваемую систему, должен быть поделен на
температуру в месте пересечения им границы, отделяющей систему от
окружающей среды,- условие, которое накладывается и в обычной
термодинамике. Следовательно, мы можем рассматривать SQo и Т0 как
величины, измеряемые обычным образом наблюдателями, которые находятся на
границе изучаемого элемента жидкости.
§ 122. О применении в термодинамике сопутствующих систем
координат
В предыдущем параграфе мы нашли, что тепловой поток, вообще говоря,
следует рассматривать относительно изучаемой жидкости, а не в какой-либо
другой системе координат. В этом случае самое удобное для термодинамики -
выбрать систему координат так, чтобы компоненты "скорости" потока были
везде все время равны нулю, т. е.
= = = (122.1)
Такие системы координат принято называть сопутствующими; ими везде можно
воспользоваться, так как их можно реализовать, задавая пространственную
систему в виде сетки, построенной из отрезков, соединяющих близкие
частицы, и перемещающейся вместе с жидкостью.
В сопутствующей системе координат следствия релятивистского второго
закона становятся особенно простыми и понятными. Начнем с того, что
формулировку закона (119.5), данную нами в виде
gjbx4x2bx4x^Y;, (122.2)
легко упростить, пользуясь тем обстоятельством, что соотношение
20*
308
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ термодинамика
(121.1) справедливо для всех точек жидкости, именно: ¦Ш (122.3)
Кроме того, поскольку все координаты взаимно независимы, перепишем
последнее соотношение в следующем виде:
(фо V^g Ьх'8хЧх3 8х4 > Bj-. (122.4)
Эта форма записи имеет значительные преимущества. Во-первых, приравнивая
элемент четырехмерного объема, расположенный в окрестности точки
наблюдения, к выражению объема, записанному в естественной мере:
8v0dt0 = 8v0ds = ЬхЧх*6х*6х\ (122.5)
легко найти, что (122.4) можно переписать следующим образом:
JL(%8v0)8x^^, (122.6)
где бо0 означает собственный объем элемента жидкости, постоянно
пребывающего в данной бесконечно малой области пространства 8х18х28х3,
причем величина этого объема может быть определена в некоторый момент
времени локальным наблюдателем, движущимся с этим элементом. И, во-
вторых, можно, очевидно, представить последнее соотношение еще так:
(ФоЧ) (122.7)
где
6to=-3K6x*' (122'8)
т. е. б/о - бесконечно малое приращение собственного времени, которое
соответствует в любой момент приращению временной координаты 8х4.
Формулировка второго закона в виде (122.6) оказывается весьма полезной,
потому что содержит выражение скорости изменения собственной энтропии
любого данного элемента жидкости по временной координате х4, которая
определена во всех частях данной системы. Такой подход особенно полезен
при рассмотрении конечных систем.
Форма записи (122.7) еще раз показывает справедливость нашей
интерпретации 8Q0. Действительно, левая часть в соотношении (122.7)
отражает возрастание энтропии (с точки зрения локального наблюдателя),
которое происходит за время 8/0 в элементе жидкости объема 8v0. Но тогда
из обычных принципов
§ 123. ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ
309
термодинамики, которыми должен пользоваться локальный наблюдатель,
вытекает, что 6Qo - это количество теплоты, поглощаемое за это время
данным элементом, с точки зрения этого наблюдателя. Но, с другой стороны,
в соответствии с выражениями (122.5) и (122.8) имеем
8и06^0 = Y~ g&x1bx28xsbxi, (122.9)
что совпадает с определением объема этого элемента (121.8) и промежутка
времени, который затрачивает наблюдатель при измерении величины 6Qo.
Из формулировки второго закона (122.7) легко также видеть, что локальный
