Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
на возможные изменения статического состояния накладывает в этом случае
второй закон.
Этот вопрос наиболее просто решается в системе сопутствующих координат,
которую мы определили в § 122. Во всяком случае координатная система
должна двигаться вместе с рассматриваемой термодинамической системой и до
и после внутреннего перехода, так как по предположению начальное и
конечное состояния - статические. Если же пользоваться сопутствующей
системой отсчета и в течение перехода, можно выразить ограничения,
накладываемые вторым законом, в следующем простом виде (см. (122.3)):
(123.4)
§ 124. Применение второго закона термодинамики к изменениям статического
состояния системы
д
дх*
(ф0 У - gj 8х18х28х38х* >
6Q0
(124.1)
Согласно (122.6) левую часть этого выражения можно рассматривать как
приращение собственной энтропии за промежуток "времени" S.v4, которое
измеряется локальным наблюдателем
312
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
в элементе жидкости, занимающем "пространственную" область 8х'8х2бх3, а в
соответствии с соотношением (122.7) правая часть этого выражения
определяется теплотой, измеряемой локальным наблюдателем, которая
постуцает в этот элемент жидкости в течение бесконечно малого отрезка
собственного времени 6t0, соответствующего интервалу 8х4.
Если это выражение для данного элемента жидкости проинтегрировать по
всему интервалу от х'4 до х"4, в течение которого происходит изменение
состояния, то получим
5 Ж V~s)s.<'6x4x'6x' > J (124.2)
X', х''
Здесь в левой части стоит полное изменение энтропии в изучаемом элементе
объема, определяемое локальным наблюдателем, а в правой части (в
соответствии с определением, данным в конце § 121)-сумма по всем
элементам теплоты, проходящим через границу в рассматриваемый объем,
причем каждый из элементов поделен на значение граничной температуры,
определенное в момент пересечения границы и измеренное наблюдателем,
находящимся на границе.
Если теперь выполнить второе интегрирование по всем элементам жидкости,
составляющим рассматриваемую систему, то ясно, что в правой части (124.2)
мы должны получить нуль:
X**
щг 4if Г3*) бя'вЛЛ!** > 0, (124.3)
.( Ш
так как по предположению мы интересуемся лишь такими переходами, при
которых в целом не происходит передачи теплоты через границу системы, а
наш способ определения Q0 и Т0 должен приводить к взаимному уничтожению
вкладов от соседних элементов внутри системы.
Таким образом, релятивистское второе начало термодинамики накладывает на
переходы системы из одного статического состояния в другое, происходящие
без изменений в окружающей среде, следующее условие:
dxi
(Р°1Г
Y'- g dx4dx2dx'i] ( ^ Фп [/- g dx'dx^dx3
(124.4)
Индексы х'4 и х"4 указывают на то, что значения интегралов берутся для
начального и конечного состояний системы соответственно.
Для того чтобы подчеркнуть аналогию этого выражения с тем, что мы имели в
классической термодинамике, мы можем
5 126. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ 313
сто интерпретировать как условие, наложенное на "энтропию" S, в
соответствии с которым при переходах системы из одного статического
состояния в другое ее энтропия может лишь возрастать или оставаться
постоянной. Под величиной S при этом надо понимать полную
проинтегрированную собственную энтропию всех элементов жидкости,
составляющих систему:
S = 4>o~{j-V-gdx'dk2dx3. (124.5)
§ 125. Условия статического термодинамического равновесия
Пользуясь формулами, выведенными в предыдущих двух параграфах, мы можем
теперь выразить условия статического термодинамического равновесия в
конечной системе, которая не взаимодействует с окружающей средой, в виде
вариационного уравнения
"Ш Фо- 8dxldx2dx? = 0 (125.1)
с дополнительными условиями на границе системы
(125'2)
Первое из этих уравнений - условие максимальности рассматриваемого
интеграла, вытекающее из второго закона термодинамики, который утверждает
(см. (124.4)), что эта величина может лишь возрастать, если она вообще
изменяется при переходе системы из данного статического состояния в
другое статическое состояние (при условии, что система не взаимодействует
с окружающей средой). Второй же набор уравнений, как мы уже отмечали в §
123, выражает условие, достаточное для того, чтобы при изменении
внутреннего состояния системы взаимодействие с окружающей средой
действительно отсутствовало.
§ 126. Статическое равновесие в случае сферически симметричного
распределения жидкости
Если в жидкой системе действуют только силы гравитационного притяжения,
то состояние статического равновесия должно быть состоянием, обладающим
сферической симметрией. Мы специально рассмотрим этот случай, применив к
нему полученные выше критерии равновесия. Начнем с того/что перепишем
выражение для интервала (94.9):
ds2 = ~ е" (dx2+dt/2+dz2) +evdt2, (126.1)
314
ГЛ. IX. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
где
ц = ц(г), v = v(r), г = Vx2 + У2 + г2, (126.2)
а изотропные координаты х, у, г, t выбраны так, чтобы пределы
