Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
частоты основной формы колебаний сложных систем. Он сомневался в
возможности применения его для исследования высших форм колебаний. См.
его статью Rayleigh J. W. S. On the calculation of the frequency of
vibration of a system in its gravest mode, with an example from
hydrodynamics. - Phil. Mag., 1899, Ser. 5, v. 47, pp. 556-572; 1911, v.
22, Ser. 6, p. 225.
415
баниях задается с помощью нескольких параметров, величины которых
выбирают таким образом, чтобы свести к минимуму частоту колебаний. Способ
выбора формы прогибов и процедура вычисления последовательных значений
частот будут показаны ниже на простом случае колебаний предварительно
растянутой нити (см. также п. 5.8).
Если прогибы предварительно растянутой нити малы, можно пренебречь
изменением растягивающей силы S при колебаниях. Тогда увеличение
потенциальной энергии деформации, обусловленной прогибами, можно
получить, умножив силу на приращение длины нити. В изогнутом состоянии
длина нити равна
о
Для малых прогибов это выражение можно упростить, взяв приближенно
L~j[1 + 4-{-it)2]dx-
о
Тогда увеличение потенциальной энергии составит
(а)
о
Максимальное значение потенциальной энергии будет иметь место в тот
момент времени, когда колеблющаяся нить находится в крайнем положении. В
этом положении г/тах = X. Тогда из выражения (а) следует
i
A^max"4-S К-БГ)2^- (б)
О
Кинетическая энергия колеблющейся нити
i
Т = -^-т \{yfdx. (в)
о
Максимальное значение эта энергия имеет в тот момент, когда нить
проходит через нейтральное положение, т. е. при г/тах = рХ. Отсюда
имеем
i
Дпах = ~Y P2ni j X2 dx. (г)
о
Считая, что потери энергии отсутствуют, можно приравнять выражения (б) и
(г). В результате получим
<5|49>
О I о
416
Задавая различные представления для форм колебаний и подставляя в формулу
(5.149) соответствующие выражения для X, можем подсчитать приближенные
значения частот колебаний по этим формам.
Первым шагом в методе Ритца является выбор подходящего выражения для
кривой прогибов. Пусть Фх (х), Ф2 (х), ... - последовательность функций
Ф" (х), соответствующим образом описывающих выражение X и удовлетворяющих
концевым условиям. Тогда можем записать
Известно, что, удерживая конечное число членов ряда (д), тем самым
накладывают определенные ограничения на возможные формы кривой прогибов
нити. Поэтому частоты, определяемые по формуле
(5.149), будут, как правило, превышать точные значения этих частот. Для
того чтобы полученное таким образом приближенное значение было как можно
ближе к истинному, В. Ритц предложил коэффициенты аъ а2, а3, ....
входящие в представление (д), выбирать таким образом, чтобы квадрат
частоты р2 в формуле (5.149) принимал наименьшее значение. В соответствии
с этим можно получить систему уравнений, каждое из которых имеет вид
Выполняя в выражении (5.150) дифференцирование, найдем
Подставляя представление (д) для^Х в равенство (5.151) и выполнив
указанные действия, получим систему уравнений, которые являются
однородными и линейными относительно аъ а2, а3, ... Число таких уравнений
будет равно числу коэффициентов ау, а2, а3, ..., в представлении (д).
Подобная система уравнений будет иметь решение, отличное от нуля, только
в том случае, если равен нулю определитель матрицы коэффициентов при ау,
а2, а3, ... Из этого условия получается частотное уравнение, решив
которое можно определить частоты колебаний по различным формам.
X = а^! (х) + а2Ф2 (х) + а3Ф3 (х) +...
(д)
(5.150)
дап
д
J X2 dx = 0. (е)
0 0 о
Представив выражение (5.149) в форме
о
о
о
можем записать
(5.151)
о
417
Рис. 5.29
Рассмотрим симметричные относительно середины пролета формы колебаний
предварительно растянутой нити (рис. 5.29, а-в). Легко показать, что
функция вида у = I2 - х2, описывающая симметричную параболу и
удовлетворяющая концевому условию (y)x=±i = О, достаточно хорошо
описывает форму колебаний, показанную на рис. 5.29, а. Умножив эту
функцию на х2, х4, ..., получим набор также симметричных кривых,
удовлетворяющих концевым условиям. Используя указанный прием, получим
следующее выражение для кривой прогибов при колебаниях нити:
X = а, (12 - х2) + а2х2 (12 - х2) +
+ Ц3Х4 (I2 - X2) + • • • . (ж)
Для того чтобы показать, насколько быстро повышается точность вычислений
с увеличением числа членов ряда (ж), возьмем только один член
Хх = аг {I2 - х2). (з)
Интегралы *, входящие в формулу (5.149):
jW<b = ^H'S; /(¦§¦)'^ =
О о
Подставляя эти величины в формулу (5.149), найдем
р\ = 5S/2l2m. (и)
Сравнивая это значение с точным решением р\ = jx2S/4Z2m, видим, что
ошибка при определении частоты составляет примерно 0,66 %. Таким образом,
форма прогибов полностью определяется при удержании только одного члена
ряда (ж), при этом исходная система сводится к системе с одной степенью
свободы, как и при использовании метода Релея.
* Как для симметричной, так и для несимметричной форм колебаний нити
достаточно рассмотреть только ее половину.
418
