Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
у-
+
2 Р13
тл2
sin (inx/l)
i=\
i2 (г2л2a2 - у2/2)
sin-
invt
2 Pl*v тл3а
sin (inxf I)
i=i
г3 (i'%t2a2 - v2l2)
Sin ¦
i2n2at
12
(5.138)
Первый ряд, входящий в это решение, описывает вынужденные колебания,
второй ряд относится к свободным колебаниям стержня.
Если скорость v движения силы очень мала и в приведенном выше решении
можно положить v = 0 и vt = xv тогда получим
У =
2 Я/3
3 1 . aa;2j i* S1
тх . тх,
Sin ; Sin-
/
/
(б)
"=1
Это выражение представляет статический прогиб стержня при действии силы
Р, приложенной на расстоянии хг от левой опоры. Используя обозначение
У3/2
(В)
а2
V2
арх а2 л'2
и равенство та2 = EI, можно часть решения (5.138), относящуюся к
вынужденным колебаниям, представить в следующей форме:
У
2Р13 sin (inx/l) sin (inut/l)
Е1лР~ Zj i2 (t2 - a2)
(Г)
i=l
405
Интересно отметить, что это выражение для прогиба совпадает с выражением
для прогиба стержня при статическом приложении поперечной нагрузки Р3 на
расстоянии лу = vt от левой опоры и продольной сжимающей силы 5 вида
S S/a " / \
~^кр ~ ~Ё7п? ~ а '
где 5кр - эйлерова критическая нагрузка для продольно сжатого стержня. Из
соотношений (в) и (д) имеем
S/a и2/а S/л2 а2л2
или
5 = ту2. (е)
С другой стороны, влияние этой силы на статические прогибы стержня, на
который действует нагрузка Р, эквивалентно влиянию скорости движущейся
силы Р на динамические прогибы (г) при вынужденных колебаниях стержня.
Если увеличивать скорость у, возникает ситуация, при которой один из
знаменателей в выражении (5.138) станет равным нулю. Пусть, например,
имеем
у2/2 = а2я2. (ж)
В этом случае период основной формы колебаний стержня = = 2л!р1 =
2/2/(ая) становится равным 2//у и в 2 раза
превышает
время, которое требуется силе Р для прохождения длины стержня.
При выполнении условия (ж) знаменатели первых членов обоих рядов,
составляющих выражение (5.138), становятся равными нулю, при этом сумма
этих двух членов ряда
2РР(Г.:"ЛХ\ sin (nvt/l) - (lv/na) sin (л2а///2) /гЛ
У ' "л2 ^5,111 I ) л2а2 - и2/2 - '3/
Это выражение представляет неопределенность вида 0/0, для которой имеем
1- Pt л vt . пх pi nvt л* , .
hm# = -- cos-7-sm-т--------------r-j sin -p-cos -. (и)
в-р-ал/Г mnv ' I WlV / / ' '
Выражение (и) имеет максимальное значение при t - llv, что дает
Pt / . nvt nvt nvt \ nx
//max - - тлЧг (sm -t -COS-J- - _
PI3 . nx . .
= --wsln-- (R)
Поскольку выражение (и) дает достаточно хорошее приближение для
динамических прогибов, точное выражение для которых (5.138) получено
выше, видим, что максимальное значение динамических прогибов при
выполнении условия (ж) резонанса примерно на 50 % больше, чем
максимальный статический прогиб:
р/з
Уст = - ~шг • (л)
406
Интересно отметить, Что Свое максимальное значение Динамический прогиб
приобретает в момент, когда сила Р достигает противоположного конца
балки. В этот момент прогиб в точке приложения силы Р равен нулю, поэтому
работа, совершаемая этой силой при движении по стержню, очевидно, также
равна нулю. Для того чтобы выяснить источник энергии, накопленной в
колеблющемся стержне при движении по ней силы Р, предположим, что трение
скольжения отсутствует и что стержень при изгибе статической силой Р дает
составляющую R, направленную по нормали к упругой кривой (рис. 5.25, б).
Из условия равновесия следует, что при этом должна возникать
горизонтальная сила Р (ду/дх). Работа, совершаемая этой силой при ее
передвижении по стержню,
Ч 8
О
Подставляя выражение (и) для прогиба у в равенство (м), получим
Цо
XV7 732 f / . ЯВ/ nvt nvt \ nvt J, P2/ / n2 \
W =----------r (sin-;------J- COS-J- ) COS-r-vdt =
mnv2 J \ I I I / I mn2v2 \ 4 /
о
Используя соотношение (ж) и равенство та2 = EI, найдем
iw РЧ3
4?7я2 ' М
Это значение работы внешней силы очень близко по величине потенциальной
энергии изгиба стержня в момент времени t = l/v, Потенциальная энергия
изогнутого стержня при действии силы Р, приложенной в середине пролета, U
= Р2121(96Е1), тогда W/U = == 2,43. Полученное отношение очень близко по
значению к квадрату отношения максимальных динамических и статических
прогибов, т. е. (48/я3)2 = 2,38. Имеющееся расхождение следует отнести за
счет высших форм колебаний.*
Время, необходимое для прохождения длины моста, обычно велико по
сравнению с периодом основной формы колебаний, поэтому величина в
выражении (в) мала. Тогда, удержав только по одному первому члену в
каждом ряду, входящем в выражение (5.138), и приняв за наиболее
неблагоприятный случай тот, при котором амплитуды вынужденных и свободных
колебаний суммируются, получим следующее выражение для максимального
динамического прогиба:
2Р13 /1 vl 1 \ _
У шах - тп% ^ я2аа - ti2/2 ап п2а2 - v2l2 ) ~~
__ JPP_ j_+a__ _JPP__±_ ,513gv
Eln4 1 - а2~ Eln* 1- а-
* Для более глубокого ознакомления см. ст. Lee Е. Н. On a "paradox" in
beam vibration theory. - Quarterly of Appl. Math., 1952, v. 10, N 3, p.
290-292.
407
Полученное значение является несколько завышенным, так как при его
