Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
("3l5~V - 104) Gl + ( 693 а5--------Г" ) "2= О' (Ш>
Приравнивая нулю определитель этих двух уравнений, найдем о а 3,517 ~\Г
Е/ 22,78 т Г EI , л
Pi = 3,517-jj- = р- у р2^-р-у -. (щ)
Значение рх здесь найдено с высокой точностью, а ошибка в значении р2
составляет примерно 3,4 %.
Колебания конического стержня. Задача колебаний конического стержня,
вершина которого не закреплена, а основание жестко
424
заделано, впервые была рассмотрена Кирхгофом *. Для основной формы
колебаний в этом случае получаем
'•"-s-wKt' <5155)
где г - радиус основания конуса; I - длина конического стержня. Для
сравнения напомним, что цилиндрический стержень той же длины и площадью
поперечного сечения, как у основания конуса, имеет частоту колебаний
* _ _Рi_ (1 ,875)2а 1,758 г-|/Т , v
11 2я 2я/2 2я/2 Гр' ^ '
Таким образом, видим, что частоты основных форм поперечных колебаний
конического и цилиндрического стержней относятся как 4,359/1,758 " 2,5. В
более общем виде частоту колебаний конического стержня по произвольной
форме можно определить по формуле
/¦=-&=-ЫгУт- (5J56)
где ап имеет следующие значения **:
сс j СС2 ос-з ^4 ос 5 ав
4,359 10,573 19,225 30,339 43,921 59,956
Другие случаи консольно закрепленных стержней переменного поперечного
сечения. В общем случае частоты поперечных колебаний консольно
закрепленных стержней можно определить по формуле
7. = 5Г = ^Кт- <5157>
В этой формуле гп - радиус инерции поперечного сечения, расположенного в
месте жесткой заделки; I - длина консольного стержня; ап - постоянная,
зависящая от конфигурации стержня и от формы колебаний. Для наиболее
важных с практической точки зрения случаев постоянная принимает следующие
значения:
1. Если изменения площади и момента инерции поперечного сечения в
зависимости от х можно представить в виде
F = ахт, I = Ьхт (а')
(х измеряется от незакрепленного конца), радиус гп инерции остается
постоянным по длине консольного стержня, и постоянную ах для основной
формы колебаний с достаточной точностью можно определять по формуле ***
"1 - 3,47 (1 + 1,05т). (б')
* См. ст. Кирхгофа, цитированную выше.
** Wrinch D. On the lateral vibrations ol bars ol conical type. - Proc.
Roy. Soc., London, Ser A, 1922, v. 101, N. A713, pp. 493-508.
*** Ono A. Journ. Soc. Mech. Engrs, Tokyo, 1924, v. 27, p. 467.
425
2. Если изменения площади и момента инерции поперечного сечения в
зависимости от х можно представить в виде
/?=Ч'--т)' '"Ч1--т) <в'>
(х измеряется от места жесткой заделки), радиус гп остается постоянным по
длине стержня, а величину а1 можно выбрать из следующих значений *:
с ............................... О 0,4 0,6 0,8 1,0
ai............................. 3,515 4,098 4,585 5,398 7,16
Стержни переменного поперечного сечения с незакрепленными концами.
Рассмотрим теперь случай колеблющегося в поперечном направлении стержня с
незакрепленными концами, состоящего из двух равных половин, соединенных
своими большими основаниями (рис. 5.31), при этом контур левой половины
стержня образуется вращением кривой
у = ахт (г')
вокруг оси х. Точное решение этой задачи, выраженное в функциях Бесселя,
было получено ** для некоторых значений т, при этом частоту основной
формы колебаний можно было представить в виде
gfrVr- <5'158)
В этой формуле г - радиус наибольшего поперечного сечения: 21 - длина
стержня; аг - постоянная, зависящая от формы кривой (г') и принимающая
следующие значения:
т 0 1/4 1/2 3/4 1
"! 5,593 6,957 8,203 9,300 10,173
* Ono A. Journ. Soc. Mech. Engrs, Tokyo, 1925, v. 28, p. 429.
** Nicholson J. W. The lateral vibrasions of bars of variable section. -
Proc. Roy. Soc., London, Ser. A, 1917, v. 93, N. A654, pp. 506-519.
426
5.21. СОВМЕСТНЫЕ ИЗГИБНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
В приведенных выше обсуждениях поперечных колебаний стержней всегда
предполагалось, что стержень колеблется в плоскости симметрии. Если это
не так, то изгибные колебания будут сопровождаться, как правило,
крутильными колебаниями. В качестве примера рассмотрим колебания швеллера
(рис. 5.32, а) в плоскости ху, перпендикулярной плоскости симметрии (т.
е. плоскости гх). Изгиб швеллера под действием вертикальной нагрузки
будет происходить в вертикальной плоскости и не будет сопровождаться
кручением только тогда, когда нагрузка прикладывается вдоль проходящей
через центр сдвига оси ОО', которая параллельна центральной оси СС' и
лежит в плоскости симметрии. Ось, проходящая через центр сдвига, берется
в качестве оси х. Эта ось отстоит на расстоянии е от срединной плоскости
стенки и с от центра тяжести поперечного сечения швеллера. Их величины
определяем по следующим формулам *:
ЪЧП
4/z
2b + h'
(а)
где Ь - ширина полок; h - расстояние между срединными плоскостями полок;
t - толщина полок и стенки.
г)
* См. Timoshenko S. Strength of materials. Part I. 3rd ed. - N. Y. -
Toronto - Ld: Van Nostrand Co., 1955, p. 239 (опубликован перевод
Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. Ч. I. М.: Физматгиз, 1960. 379
