Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
вычислении полностью исключалось из рассмотрения влияние демпфирования.
Используя принцип наложения, можно без труда получить решение для систем
с несколькими движущимися сосредоточенными силами и для случая движущихся
распределенных сил.
Рассмотрим случай, когда по стержню с постоянной скоростью v движется
изменяющаяся во времени сила * Рг (t) = -Р cos со(. Подобное условие
может возникнуть, например, тогда, когда по мосту перемещается
неуравновешенное колесо локомотива. Предположим, что в начальный момент
времени t = 0 сила имеет максимальное значение и направлена вниз.?
Рассуждая так же, как и выше, найдем, что возможная работа, совершаемая
подвижной изменяющейся во времени движущейся силой на перемещении bt/t =
бф;Хг:
8WPi = - Р cos со^бфг sin . (о)
Используя это выражение для возможной работы, совершаемой движущейся
нагрузкой, и рассуждая, как и выше, получим выражение для прогиба
ОО
Р13 VT . inx Г sin ((inv/l) + (о) / , sin (inv/l- to)/
S inx Г sin ((inv/l) + <d) / ,
I [ г4 - (ф + га)2 +
y ?7jt4 I L г4 - (ф + га)2 1 г4 - (ф - га)2
г=1
а / sin (г2л2а///2) . sin (i2n2at/l2) \ 1 /4 1401
г V - г'2а2 + (г2 - ф)2 ^ - г2а2 + (г2 + ф)2 / J ' >
где а = VI/(яа) - отношение периода = 2Р/(па) основной формы колебаний
стержня к удвоенному времени t = Uv, за которое сила пробегает
расстояние, равное длине стержня; ф = тJT - отношение периода основной
формы колебаний стержня к периоду Т = = 2я/со изменения силы.
Когда период Т изменения силы равен периоду основной формы колебаний
стержня, имеем ф = 1 и, следовательно, возникает условие резонанса.
Амплитуда колебаний при движении периодически изменяющейся во времени
силы будет постоянно возрастать и достигнет своего максимального значения
в момент времени t = Uv. Для этого момента времени, удерживая только
первые члены (при I = 1) в рядах, стоящих в правой части выражения
(5.140) и дающих наиболее существенный вклад в прогиб у, можно получить
оо
* См. Timoshenko S. P. The collected papers. N.-Y.: McGraw-Hill
Publishing Co. 1953, pp. 329-333 (перевод этой статьи под названием "О
поперечных колебаниях балок постоянного поперечного сечения" см. в кн.
Тимошенко С. П. Статические и динамические проблемы теории упругости.
Киев: Наукова думка, 1975, т. 56-57).
408
Тогда максимальный динамический прогиб можно найти по формуле
2РР 21 / 2РР \ 1/1]ч
У(tm)*- - (5.141)
Благодаря тому, что в действительности интервал времени t = liv велик по
сравнению с периодом тх собственных колебаний, максимальный динамический
прогиб, обусловленный периодически изменяющейся силой, будет во много раз
большим, чем прогиб 2Р13/(Е1л4), создаваемый той же силой, приложенной
статически в середине пролета стержня.
5.17. ВЛИЯНИЕ ОСЕВОЙ СИЛЫ НА ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ
Если на колеблющийся стержень действует растягивающая сила S (рис. 5.26),
дифференциальное уравнение для кривой прогибов при действии статической
поперечной нагрузки имеет вид
EI^ = M + Sy, (а)
где М - изгибающий момент, создаваемый поперечной распределенной
нагрузкой с интенсивностью w (см. рис. 5.26). Дважды продифференцировав
левую и правую части этого уравнения по х, получим
?("-&) -+ S&- "9
Для того чтобы получить уравнение для поперечных колебаний, подставим
вместо w величину силы инерции, отнесенной к единице длины,
д2 / ?/ д2У \ _ ? д2у _ р д2у
дх2 \ дх2 / 5 дх2 - dt2 ' (в>
В случае стержня постоянного поперечного сечения имеем
?,-S--sS-=-pf-S- <5-142)
14 Тимошенко С. П. и др.
Рис. 5.26
409
Предполагая, что стержень колеблется по одной из собственных форм, найдем
решение уравнения (5.142) в форме
у = X (Л'соэ pt + В sin pt), (г)
где X - нормальная функция. Подставляя в уравнение (5.142) представление
(г), получим
П1 №Х " d2X " "V / ч
EIH*-S-dF=PFPX- (д)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным концевым условиям,
должно включать в себя соответствующие нормальные функции. Простейший
случай имеет место при свободном опирании стержня. Эти условия будут
удовлетворены, если взять
Xi = sin (inx/1), i = 1, 2, 3, ..., oo. (e)
Подставляя это выражение в уравнение (д), найдем соответству-
ющую круговую частоту колебаний
"--Tp-Zi+w, ('•'")
где, как и прежде, имеем а = yrEI/(pF). Эта частота больше той [см.
выражение (5.102)1, которая была получена при рассмотрении колебаний без
учета осевой силы 5.
Если имеется очень податливый на изгиб стержень (допустим, трос), второе
слагаемое, стоящее под корнем в выражении (5.143), становится намного
большим единицы, и если при этом i2 не слишком велико, можно принять
г'2л2а I f SI2 in i / S , .
Pi--[г- V 1ЁШ=- K.-pF' (Ж>
что представляет собой выражение для собственных частот предварительно
растянутой нити (см. п. 5.8).
Подставляя функции (е) в представление (г) для решения, найдем
собственную форму колебаний, представляющую синусоиду с числом полуволн,
равным I. Суммируя подобные формы, получим общее решение задачи о
свободных колебаниях свободно опертого стержня при действии осевой
