Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
необходимую для создания равного единице прогиба стержня, лежащего на
упругом основании. При поперечных колебаниях стержня дифференциальное
уравнение динамического равновесия сил, действующих на малый элемент dx,
можно представить в форме
-)dx = - knydx-pFdx^r, (е)
где первое слагаемое в правой части описывает силу отпора со стороны
основания. Для стержня постоянного поперечного сечения это уравнение
имеет вид
EI-^ + kuy=-9F^. (5.146)
Для того чтобы решить это уравнение, возьмем для собственных форм
колебаний следующее представление:
yi = Xl(Alc.ospit-\-BiSAnpit). (ж)
Подставляя выражение (ж) в уравнение (5.146), получим
EI ^Г-(рРр1~1гп)Хс = 0. (з)
Разделив левую и правую части этого уравнения на EI, найдем
( Р' kg \ -у-__ Q , ,
dx* la* ?•/ j 4
413
Для удобства введем обозначение
4-жг-'"• W
Тогда уравнение (и) можно представить в следующей форме:
igL= 0. (л)
Решением этого дифференциального уравнения будет
Xi = Сц sin ktx -f- C2t cos ktx -f C3i sh ktx + Cit ch ktx, (m)
что совпадает с решением задачи о стержне без упругого сплошного
основания. Поэтому в рассматриваемом случае могут быть использованы все
результаты, полученные выше для стержня с различными концевыми условиями.
Единственное отличие состоит в том, что требуется заменить pt = Ща на
величину, определяемую из выражения (к):
Pi = k\a Vl + kn/(EIk}). (5.147)
Рассматривая простейший случай стержня, концы которого закреплены так,
что не могут перемещаться в вертикальном направлении (т. е. случай
свободно опертого стержня на упругом основании), найдем, что нормальные
функции имеют вид
Xi = C-,?,'mkiX, i= 1,2,3,..., оо, (н)
а круговые частоты
i2n2a 7 А, . я2а i/'тт-i- чг ит
Pi ^2 г El^n* 1г 1 5(5-148)
где р = knZVE'/n4. За исключением указанного уточнения, выражения для
динамических прогибов свободно опертого стержня при различных условиях
(см., например, пп. 5.10, 5.13, 5.15 и15.16) можно применять также и для
стержня на сплошном упругом'осно-вании.
Суммируя сказанное, видим, что упругое закрепление на концах стержня (см.
рис. 5.27) влияет как на частоты, так и на формы его колебаний, тогда как
присутствие упругого основания (см. рис. 5.28) оказывает влияние только
на собственные частоты колебаний. Как и в случае растянутой нити с
упругим закреплением на концах, решение задачи о динамическом поведении
стержня на упругих опорах или упругом основании будет аналогично тому,
что имело место для обсуждавшихся выше более простых случаев.
Пример. Рассмотрим случай, когда изменяющаяся во времени сила Р1 (t) = =
Р sin at приложена на расстоянии хг от левой опоры свободно опертого
стержня, лежащего на сплошном упругом основании. Определить динамические
прогибы стержня.
414
Решение. Колебания, возникающие при действии возмущающей силы,
описываются выражением (5.127), которое применительно к рассматриваемому
случаю можно записать в виде
ОО
2Р1Л VI Г sin (imc/l) sin (mx^l) sin at
- V [-
i_j [ л4а2 (i4 + p.) - со2/4
rr^/A il\ ".л
(o)
(o sin (ijix/l) sitf,(inx1/l) sin p: liPi И - "2)
В этом выражении первое слагаемое в квадратных скобках описывает
поведение при вынужденных колебаниях, а второе относится к свободным
колебаниям стержня.
Если переменная во времени сила Р sin at изменяется медленно (со ->- 0),
часть решения (о), относящуюся к установившимся колебаниям, можно
представить в форме
ОО
2Р13 sin (inxtl) sin (inxi/l) sin at ^
У~ ?/я4 Zj '
1=1
В случае, когда xx = //2, из выражения (п) получаем
2РР , [ sin {nx/l) sin(3nx/l) , sin (5пхЦ) ]
У Е/я4!!. 1+ц З4 -j- (х 54 4- р, •¦•jSnw. (р;
Сравнивая это выражение с выражением (м) из п. 5.13, видим, что влияние
упругого основания на динамические прогибы учитывается наличием
дополнительного слагаемого (X в знаменателях членов ряда (р).
5.19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ РЕЛЕЯ-РИТЦА
В п. 1.4 с помощью метода Релея мы приближенно определили низшую частоту
колебаний стержня или вала. При использовании этого метода необходимо
сделать некоторое предположение о форме изгиба упругого тела при
колебаниях. Соответствующую частоту затем определяют из рассмотрения
энергии системы. Задавая определенную форму прогибов, тем самым неявным
образом накладывают некоторые дополнительные связи, которые исходную
систему сводят к системе с одной степенью свободы. Введение
дополнительных связей может только увеличить жесткость системы и тем
самым сделать частоту колебаний (при определении ее методом Релея)
несколько большей точного значения. Более точные приближения для основной
частоты (а также и для частот более высоких форм колебаний) можно
получить с помощью метода Ритца *, который представляет собой дальнейшее
развитие метода Релея10'**. При использовании метода Ритца кривая
прогибов стержня при коле-
* Ritz W. Theorie der Transversalschwingnngen einer quadratischen Platte
mit freien Randern. - Annalen der Physik, 1909, B. 28, N. 4, S. 737-786.
** Релей использовал этот метод только для приближенного определения
