Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
sin (5я/3) sin (7л/3)
54 - 1/4 74 - 1/4
+ • • . J " 0,057 м.
5.13.3. Определить амплитуду вынужденных колебаний в середине пролета
свободно опертого стержня, на левой половине длины которого приложена
распределенная изменяющаяся во времени нагрузка с интенсивностью w sin
соt.
ОО
2wl4 (- I)*1'-1"/2
Ответ: Шх=т =
(i4 - а2)
5.13.4. Определить динамические прогибы свободно опертого стержня,
возникающие при внезапном приложении в середине его пролета силы Р.
Ответ:
_ 2Р13 (- \)0~0!2
* я 4?7
i=l, 3,5
5.13.5. Определить динамические перемещения при установившихся
поперечных колебаниях свободно опертого стержня, нагруженного
изменяющейся по длине
ЛХ
по закону синуса нагрузкой Q (х, t) - w sin --sin соt.
_ wl1 В, sin соt . nx
Ответ: у =----------------- X sm ¦
я4?7 Л I '
5.13.6. С помощью подхода, основанного на рассмотрении возможной
работы, получить общее выражение для динамических прогибов стержня при
действии распределенного изгибающего момента интенсивностью М (х, t).
Затем найти решение для случая свободно опертого стержня.
оо it
. 2я VI 1 . inx f inx Г
Ответ: у = ^ sm J cos -j- ] M(x, t)X
(=1 о о
X sin pi (t - t') dt'dx.
396
5.14. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАЗЛИЧНЫМИ КОНЦЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Полученное в предыдущем параграфе выражение (5.119) относилось к общему
виду распределенной возмущающей нагрузки, зависящей как от продольной
координаты х, так и от времени i. Однако, если функцию нагрузки Q (х, i)
можно представить в виде произведения
Q (х, t) = / (*) Q (t), (а)
то выражение (5.119) можно записать в более простой форме
оо I t
У= xt dx \ Я (t') sin Pi (i~t')dt', (5.130)
(=1 о 0
где q (t) = Q (t)!m. Подобного типа процедура уже обсуждалась выше, в п.
5.11, и ее выполнение представляет трудности для стержней, у которых
концевые условия отличаются от свободного опи-рания.
С другой стороны, если нагрузки представляют сосредоточенные силы или
изгибающие моменты, для определения динамических перемещений колеблющихся
стержней можно использовать выражения (5.120) и (5.123) независимо от
вида закрепления концов стержня. В качестве примера рассмотрим случай
стержней с жестко защемленными концами и предположим, что ее колебания
вызываются изменяющейся во времени силой Рх (t) = Р sin со/, приложенной
на расстоянии х = хх от левого конца стержня (рис. 5.20). В этом случае
из выражения (5.120) следует
оо t
y = sinPi(t - =
i-1 1 0
oo
= -Щ- 2 (sinco/ ~~ 7Г sinPit) (5Л31)
i=1
Это выражение является общим и применимо для произвольным образом
закрепленных стержней, поэтому, если необходимо его применить к
рассматриваемому случаю, надо подставить в него частоты pi и нормальные
функции Xt для стержней с жестко защемленными концами.
Ум
Р Sin lot
f *
*1 1 => ? X
<
Рис. 5.20
397
Предположим, что изменяющаяся во времени сила (см. рис. 5.20)
прикладывается в середине пролета стержня и что требуется вычислить
динамический прогиб в точке приложения нагрузки при установившихся
колебаниях. Тогда, учитывая первое слагаемое в выражении (5.131), имеем
t \ 2Psinco/ VI р,- /v.o . , о Г
(у)х=Ц2=--------t 2j 7f (^)*=//2' 1. 3, 5, .... оо. (б)
i
Подставляя в выражение (б) величины р} = a2k\ и таг = EI, получим
/ \ 2Р/3 sin mt vr Pi / v \2 • / ч
(У)х-Ц2 4 ( i)x=l/21 ^- 1, 3, 5, ..., OO. (в)
i
В примере, рассмотренном в п. 5.11, получены числовые значения членов
записанного выше ряда. С учетом этого имеем
{У)Х=Ч2 = - (50380, + 135р3 Т 22|35 + ...) 10'в. (г)
ЗАДАЧИ
5.14.1. Определить динамические прогибы при установившихся вынужденных
колебаниях консольного стержня, к незакрепленному концу которого
приложена поперечная сила Р sin mt.
ОО
PI3 sin соt P( At- (Xi)x=i " '
Ответ: у =--------------------------^-----; P,
El AJ (kp)* ' ^ 1 со3/p- ¦
i=i
Здесь Xi - нормальные функции для стержня с одним жестко защемленным
концом и незакрепленным другим; kp - круговые частоты свободных форм
колебаний рассматриваемого стержня.
5.14.2. Определить динамические прогибы на незащемленном конце
консольного стержня, рассматриваемого в предыдущей задаче.
Ответ: (у)х=1 =
Р/3 sin сat ^ (^i)x=i
EI La (kpy i=1
Из таблиц находим
№Ы = 2(-1)'+1.
Тогда, взяв значения kp из п. 5.11, получим
i"\ _ *?!L г Pi д. ,
EI L 1,8754 1 4,6944 ^
+ Tfe-+ * • •.] sin а)/ = ^-(0,08091^ +
+ 0,0020бр.2 + 0,0002брз + ...) sin соt.
5.14.3. Исследсвать установившиеся вынужденные колебания стержня, один
конец которого жестко защемлен, а другой - свободно оперт, если
изменяющаяся во времени сила Р sin со t приложена в середине пролета
стержня.
398
5.14.4. Определить динамические прогибы в середине пролета стержня,
рассмотренного в предыдущей задаче, если заданы следующие числовые
величины:
№=//2 = 1-4449; (Х.),=//2 = 0,5704; (Х3)^//2 = - 1,3005;
(Xi)x=;l/2 = -0,5399; (X5)x=,/2 = 1,3068.
Необходимые для заданного в этой задаче стержня значения kil приведены в
п. 5. II.
5.15. СТЕРЖНИ С ПЕРЕМЕЩАЮЩИМИСЯ ОПОРАМИ
В п. 5.6 рассматривались продольные колебания призматического стержня,
