Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Р0, приложенной в середине пролета. Определить поперечное динамическое
перемещение в середине пролета стержня при его колебаниях, возникающих,
когда в момент времени^ = 0 сила внезапно удаляется.
Решение. Нормальные функции для стержня_с жестко защемленными концами
[см. выражение (5.108)] можно представить в виде
Xi = ch kiX - cos kix - a,- (sh k{X - sin kix), (щ)
где
_ ch kil - cos kil K' - sh kil - sin ktl
Здесь имеем % = 0,9825; a2 = 1,0008; a3 л: 1; a4 ~ 1 и т. д. С помощью
упомянутых выше таблиц для нечетных форм колебаний стержня с жестко
защемленными концами находим
= 1.588; (X3)x=l/2 = 1,406; (^s)x=i/2 ~ 1'415; ...
Подставляя в выражение (5.113) эти значения, а также значения kil,
приведенные для уравнения (5.107), получим следующее выражение для
изменяющегося во времени прогиба в середине пролета стержня:
/V3 Г 1.5582 ______ , 1.4062 ______ , 1,4152_______ 1
(У)х=1/2 Е! [ 4,7304 C0SPi* + ю,9964 t0Sps* + 17,2794 C0S Рь + ' ' 'J
= (5038 cos pit + 135 cos p3t + 22 cos pbt + . . .) 10'e. (э)
LI
Отсюда видно, что в рассматриваемом случае ряд, представляющий искомое
решение, сходится быстро.
ЗАДАЧИ
5.11.1. Численно определить нормальные функции для стержня с одним жестко
защемленным концом и свободно опертым другим и построить графики линий
прогибов, соответствующих первой и второй формам колебаний.
Ответ: Нормальные функции [см. выражения (б), (в) и (5.106)] имеют вид
Xi - ch ktx - cos kiX - a* (sh kjX - sin kix), ch kil - cos k^
Где a'1 ~ sh ktl - sin kil •
Используя значения корней частотного уравнения, относящегося к данному
случаю, получим
kxl= 3,927; kzl = 7,069; % = 1,0008; a2 = 1,0000.
Используя полученные числовые данные, можно построить искомые кривые.
5.11.2. Решить предыдущую задачу, приняв, что конец х =0 стержня жестко
защемлен, а конец х = I не закреплен.
386
Ответ: В данном случае нормальные функции имеют вид
Xi = c.h kix - cos ki% - а г (sh fax - sin fax),
ch kd 4- cos kd где a = , -. , , .
sh kd + sin kd
Зная корни соответствующего характеристического уравнения, для данного
стержня получаем
1.875; k2t= 4,694; аг = 0,7341; a2 = 1,0185.
5.11.3. Показать пригодность частотного уравнения (5.110) для задачи о
консоли с дополнительной опорой и найти выражение для нормальных функций.
5.11.4. Определить выражение для поперечных динамических перемещений
стержня с жестко защемленными концами, если он изгибается под действием
сосредоточенной силы Р0, приложенной в точке х = I/4, а затем начинает
колебаться при внезапном удалении этой силы в момент времени 1=0.
5.11.5. Решить предыдущую задачу для стержня, один конец которого жестко
защемлен, а другой не закреплен. Начальный прогиб создается силой Р0,
приложенной к незакрепленному концу стержня.
5.12. ВЛИЯНИЕ] ИНЕРЦИИ ВРАЩЕНИЯ И ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА
В предыдущих рассмотрениях задачи об изгибных колебаниях предполагалось,
что размеры поперечных сечений малы по сравнению с длиной стержня. Здесь
будет дано уточнение теории, целью которой является учет влияния размеров
поперечных сечений на частоты колебаний. Эти уточнения могут иметь важное
значение при исследовании форм колебаний с высокими частотами, когда
колеблющийся стержень разделяется узловыми поперечными сечениями на
сравнительно короткие отрезки.
Легко видеть, что при колебаниях стержня его малый элемент (см. рис.
5.13, б) совершает движения, соответствующие не только переносу, но и
повороту *. Угол поворота, который равен углу наклона кривой прогибов,
имеет вид ду/дх, тогда соответствующие угловые скорость и ускорение
представляются выражениями
д2у d3yt
дх dt дх dt2
Поэтому момент инерции этого малого элемента относительно оси, проходящей
через центр тяжести перпендикулярно плоскости ху, равен **
, d3y ,
~~Р dxdt2
Этот момент инерции следует учитывать при записи условия динамического
равновесия для малого элемента стержня. Тогда вместо уравнения (б) из п.
5.9 получим
-Vdx + ^-dx-pI-^-dx^O. (а)
* См. § 186 в кн. Rayleigh J. W. S. Theory of sound, цитированной в п.
1.4.
** Положительным будем считать направление вращения против часовой
стрелки.
387
Подставляя выражение поперечной силы V, получаемое из этого выражения, в
уравнение равновесия проекции сил на ось у [см. уравнение (а) в п. 5.9],
найдем
dV , д ( дМ , д3у \ , v , д2у /Л,
-5Tdx = I* Ur-P7 Шёг)Лх=-*РЛх-Ш- (б)
Тогда с учетом выражения (д) из п. 5.9 придем к уравнению
= + (5-1Н)
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение для
поперечных колебаний призматических стержней, в правой части которого
второе слагаемое учитывает влияние инерции вращения.
Еще более точное дифференциальное уравнение можно получить, если учесть
не только инерции вращения, но также и прогибы, обусловленные поперечным
сдвигом.* Угол наклона кривой прогибов зависит не только от поворота
поперечных сечений стержня, но также и от деформаций поперечного сдвига.
Обозначим через ф угол наклона кривой прогибов в том случае, когда
