Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 148

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 178 >> Следующая

= ~mT 2j ~рГ sin ~T~ ~i~ (sm Ы ~ Tisin Pt) Р* =
1=1
OO
r PI3 1 inx inx, / . , сol2 , ,\"
= rw 2j-sin-sin-(sinы sln p*) P*.
(5.127)
393
где коэффициент усиления
Рг = 1/(1 - оrip}). (к)
Первое слагаемое выражения (5.127) характеризует установившееся поведение
при вынужденных колебаниях стержня, второе описывает неустановившееся
поведение при свободных колебаниях. При наличии демпфирования последние
будут затухать, поэтому практический интерес будет представлять только
установившееся поведение балки.
Если сила Р sin со/ изменяется во времени очень медленно, т. е. (c)
является очень малой величиной, то можно принять рг л; 1 и для поперечных
динамических перемещений при установившемся поведении записать
оо
2 Pi3 VI 1 . inx . inx, . ,
У = j-j- > sin-г-SH1-г- sin со/
v тп4а2 г4 I I
i=1
или, положив та2 = EI,
оо
2Р13 1 . inx inx, . , .
У = ~ЖпГ 2mi Sm ~l~ Sm --------- Sm ^
1 = 1
Это выражение описывает статический прогиб стержня при действии нагрузки
Р sin со/. В частном случае, когда сила Р прикладывается в середине
пролета стержня (т. е. в точке х, = 1/2), имеем
2Р13 / . пх 1 Зпх 1 5пх \ . . , .
y = ~Eh?'\sin~l -g4-sin-^---------Ь -gj-sm---------... jsinco/. (м)
Ряд (м) является быстросходящимся и хорошее приближение для прогибов
получается при удержании только первого члена. Таким образом, определяем
амплитуду у0 прогибов в середине пролета балки:
2Р13 pi з
(Ус)х=1/2 = ?/я4 = 48,7EI •
Ошибка при таком приближении составляет около 1,5 %.
Обозначив через а отношение частоты изменения возмущающей силы к частоте
основной формы свободных колебаний, из выражений (и) получаем
а = a/pi - со/г/(шт2),
тогда прогибы при установившихся вынужденных колебаниях согласно
выражению (5.127)
оо
2P/3sinco/ sin (inx/l) sin (inx,/1)
У'~ Шп4 Zj~~~ i* - a2 ' ^
C=l
Если изменяющаяся по закону синуса сила прикладывается в середине
пролета, для прогибов имеем
sin (nx/l) sin (Зпх/1) , sin (5nx/l) 1
1 - a2 З4 - а2 ^ 54 - а2 W
2PI3 sin (?>t
У =
Eln4
394
|1ри малых значениях а высокую точность при определении прогибов Стержня
получим, удержав только первый член этого ряда, а сравнивая выражения (а)
и (м), можно видеть, что отношение динамического прогиба к статическому
Ь = -П^Г- (п)
Например, если частота изменения возмущающей силы равна одной
четвертой частоты основной формы колебаний, динамический прогиб будет на
6 % превышать статический.
Из выражения (5.126) можно найти динамические прогибы, вызываемые
изменяющимся по закону синуса изгибающим моментом М1 - М sin соt,
приложенным на левом (х = 0) конце стержня. Следуя приведенным выше
рассуждениям, найдем
оо
2/W2sina)/ VI В1 . inx 1Г)0,
y = --Eirt 2j-^-sin~T' (5Л28)
t=1
что представляет собой динамические прогибы при установившихся
колебаниях, обусловленных действием изгибающего момента.
Поскольку задачи о колебаниях стержней описываются линейными
дифференциальными уравнениями, то здесь может применяться принцип
наложения решений. Поэтому при действии на стержень нескольких
изменяющихся во времени сил и изгибающих моментов результирующее
перемещение можно получить, сложив перемещения, соответствующие каждому
из указанных силовых факторов.
Случай непрерывно распределенных, изменяющихся по закону синуса
возмущающих сил может быть также рассмотрен аналогичным образом с помощью
выражения (5.124). Предположим, например, что стержень нагружен
равномерно распределенной поперечной силой с интецсивностыо Q (t) = w sin
at. Тогда из выражения
(5.124) получаем
оо
4ш/4 sin cat VI В,- inx /r lnra
у 2j sin ~Г • (5'129)
(=i
Если частота изменения нагрузки очень мала по сравнению с частотой
основной формы поперечных колебаний стержня, можно воспользоваться
следующим приближенным выражением:
iwi4 / . пх | 1 . 3пх . 1 , 5пх . \ . ,
, .
у = ~Ш> vsin~г + sin ~Т + sin ~~Г + ' ' ' ) sin (р)
Этот быстросходящийся ряд описывает статический прогиб стержня при
действии-равномерно распределенной нагрузки w sin at. Положив х = //2,
найдем выражение для динамического прогиба в середине пролета стержня
(y)x=i/2 = (1 - Ж+ Ж ~ ' ' ' ) sin ^
Если в этом ряду удержать только первый член, прогиб в середине пролета
будет определяться с ошибкой 0,25 %.
395
ЗАДАЧИ
5.13.1. Свободно опертый стержень, нагруженный в середине пролета
поперечной силой Р, прогибается на величину 0,01 м в точке приложения
силы. Определить амплитуду вынужденных колебаний, под действием силы Р
sin mt, если частота со равна половине основной частоты колебаний
стержня.
2 Р13 / 1
Ответ: (ус)х=1 = - ( , _ 1/4 ¦ +
+ ' 3г -- 1/4 + 54 - 1/4 + • ' • ) " 0,034 М'
5.13.2. Стержень, рассмотренный в предыдущей задаче, нагружается двумя
силами Р sin mt, точки приложения которых отстоят на треть длины стержня
от его концов и друг от друга. Определить амплитуду вынужденных колебаний
в середине пролета стержня, если частота со здесь такая же, как и в
предыдущей задаче
п . / 1 4^3 Гsin (n/3) I
Ответ. (ус) х=т = -шг I { _ щ- +
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed