Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тимошенко С.П. -> "Колебания в инженерном деле" -> 139

Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.

Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1985. — 474 c.
Скачать (прямая ссылка): kolebaniyavinjenernomdele1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 178 >> Следующая

координатах:
r- i .____________________,___________________i
Фо, = У 7~ j Д (*) sin dx; Фо i=y J- j Д (*) Sin dx. (r) о 0
Тогда из выражения (5.25) получаем соответствующие этим условиям
динамические ~ перемещения нити
. -^ оо
"I / 2 VI . inx / " inct 1 фог . inct \ "оч
У=у - 2mism~T\Voicos- f- ¦yi-sm-j-J. (5.68)
?=1 1
Далее, из выражения (5.28) находим динамические перемещения,
обусловленные действием распределенной поперечной силы Q (х, t):
00 / t
у = ^ j sin ~j- J Я (x> О sin Pi (t - t') dt' dx, (5.69)
1=1 о 0
где q (x, t) == Q (x, t)/m. Если в точке хг прикладывается
сосредоточенная сила Рг (t), динамические перемещения при этом
определяются
выражением (5.29):
<Х> t
у =Т 2 7Tsln J 41 (О sin Pi (t - f) dt1, (5.70)
1=1 1 0
где qx (t) = Px (t)lm.
367
Рис. 5.11
В п. 5.6 рассматривался случай призматического стержня, для каждого конца
которого задаются независимые продольные перемещения. Полученные там
выражения очень просто распространить на случай, когда концы растянутой
нити перемещаются в поперечном (параллельно оси у) направлении. На рис.
5.11, а и б показаны независимые перемещения опор, задаваемые в виде
функций времени:
УоП 1 ё1 (ty, уОП 2 ё% (t)
(д)
соответственно для левого и правого концов. При таким образом заданных
перемещениях концов закон движения произвольной точки невесомой нити
имеет вид
Ус-r - (УстУ Ь (УстУ :
+ (5.71)
В данном случае перемещение ус.т (рис. 5.11, в) описывает движение как
абсолютно жесткого тела, состоящее из перемещения в направлении оси у и
малого поворота относительно оси, перпендикулярной плоскости ху. Более
того, подобный характер движения свойственен и каждой компоненте (г/ст)х
и (уст)2 (см. рис. 5.11, а и б). Результирующее движение представляет
собой чистый перенос, когда S1 (0 = ёъ (t) = ё (0> и чистый поворот
относительно точки, расположенной в середине пролета, когда (t) = -g2
(t). Таким образом, видим, что введенное в п. 5.6 представление о
движении как податливого тела для невесомых систем совпадает с
представлением движений как абсолютно жесткого тела в случае
предварительно растянутой нити при заданных поперечных перемещениях ее
концов.
m
Подставляя в выражение (5.52) вторую производную по времени функции
(5.71) и нормированные функции из выражения (в), получим решение для
задачи о неустановившемся поведении нити при колебаниях
оо I t
* 2 \Л 1 . inx f . inx f Г / - х .. ,,,.
. х .. ,.,.1 .
*=-TLjrsm - )sm-r\\-г-еЛП + -е*")\ х
1=1 о о
X sin pi (t - t') dt' dx. (5.72)
Для того чтобы получить полное перемещение, сложим перемещения,
обусловленные колебательным движением и движением как абсолютно жесткого
тела, и в результате получим
У = Усг + У*= g! (t) -f- -J- g, (t) + y*. (5.73)
Приведенное выше обсуждение относилось к предварительно растянутой нити,
концы которой были жестко закреплены. Рассмотрим теперь случай нити с
упругим в поперечном направлении закреплением на концах (рис. 5.12).
Предполагается, что жесткости kx и ?2 пружин, установленных в точках х =
О и х = I, известны и что концы нити могут перемещаться только в
направлении оси у. Подход, применявшийся выше (см. п. 5.5) для
исследования призматического стержня с установленными на одном из его
концов массой или пружиной, теперь используем в задаче о нити,
опирающейся по концам на пружины.
Уравнение движения, получаемое из рассмотрения (см. уравнение (а)]
условия динамического равновесия малого элемента нити, показанного на
рис. 5.12, можно записать в виде
mijdx - Sy"dx = 0. (е)
На каждом конце нити должно выполняться условие равенства силы,
возникающей в пружине при ее перемещении на величину у, и проекции на ось
у растягивающей силы S нити. Поэтому концевые условия принимают форму
S (у')х=о = k{ (у)х=0; S (у')х=1 = - k2 (y)x=i- (ж)
Как обычно, для i-й формы собственных гармонических колебаний принимаем
Ус - Xi (Ai cos pd -f- Bi sin pd).
(з)
Рис. 5.12
359
Подставляя это выражение в условия (ж), получаем
SX'io = k\Xio', SXci = -к2Хц. (и)
Нормальные функции возьмем в том же виде, что и выше:
Xi = Ci cos (pix/c) + D(. sin (ptx/c). (к)
Подставляя выражение (к) в соотношения (и), найдем
SpiDi/c = k1Ci; (л)
-^г~ (K~Ci sin -^- + Dt cos-^) = -k2 (Ct cos~~~ + A sin . (m)
Исключая из выражений (л) и (м) постоянные С,- и Dit получим частотное
уравнение
М. (sin Ц- - -|g- COS *L) = k2 (cos Pf + Sin M.) . (H)
Для упрощения введем обозначения
lt = ptl/c\ lii^mlptlkx, ?>i2 = mlpbk2 (о)
и перепишем уравнение (н) в виде
ИЛИ
('"тзУ'еМтпг + тзг)5-- <5J4>
Полученное соотношение представляет собой трансцендентное частотное
уравнение для нити, оба конца которой установлены на поперечные пружины.
В этом случае нормальные функции (к) с учетом соотношения (л) можно
представить в следующей форме:
Xt = Ci [cos(hx/l) + (Б*/Сп)sin (tiX/l)]. (5.75)
При больших значениях величин kx и k2 уравнение (н) сводится к виду
sin (Pil/c) = 0, (п)
что представляет собой частотное уравнение для нити, неподвижно
Предыдущая << 1 .. 133 134 135 136 137 138 < 139 > 140 141 142 143 144 145 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed