Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
обусловленные либо переносом основания как абсолютно жесткого тела, либо
независимыми перемещениями опор в продольном направлении. Для стержня
следует рассматривать два типа перемещений как абсолютно жесткого тела. В
качестве таких перемещений обычно берут чистый параллельный перенос в
направлении оси у и малые угловые перемещения вокруг оси г, проходящей
через начало координат перпендикулярно плоскости ху (см. рис. 5.13).
Учитывая указанные два типа перемещений, перемещение в направлении оси у
произвольной точки стержня можно представить в следующем виде:
г/осн = gi (0 + Щг (t), (а)
где gi (t) и g2 (t) - соответственно перенос и поворот как абсолютно
жесткого тела. В соответствии с выражением (5.47) относительное
перемещение колеблющегося стержня при указанного вида перемещениях
основания как абсолютно жесткого тела можно представить в форме
- i t
J Xtdx J gi (t') sin Pi (t - t') dt' +
1=1
I
0 0
+ J xXidx J g2 (t') sin pi (t - t') dt'
о 0
(5.132)
где Xi - функции, описывающие форму прогибов стержня при колебаниях и
нормированные в соответствии с соотношением (5.97). Выражение (5.132)
описывает динамические перемещения произвольной точки стержня
относительно перемещений его как абсолютно жесткого тела. Результирующее
перемещение представляем в виде суммы перемещений стержня при колебаниях
и перемещений основания .
У = "/оси + У* = gi (0 + xg2 (t) + у*. (5.133)
Как видно из выражения (5.132), оно содержит сравнительно несложные для
вычисления интегралы по длине стержня, не связанные с интегрированием по
времени.
Более сложный случай относится к независимым перемещениям каждой из опор.
На рис. 5.21, а и б показано влияние единичных
399
а) 5)
Рис. 5.21
перемещений в направлении оси у опор свободно опертого стержня. Для
стержня этого типа функции перемещения
бх (л:) = 1 - х/l; б2 (л:) = х/l (б)
и нормальные функции Xt совпадают с аналогичными функциями для
предварительно растянутой нити, рассмотренной в п. 5.8. Тогда выражение
для относительных динамических перемещений стержня можно записать [см.
выражение (5.72) ] в виде
оо f - I
2 V4 1 inx Г R / . . inx ,
' = j- 2j - sin -j- j ox (x) sin -- dx x
У*
X j Si (O sin Pijjt - t') dt' + J 62 (x) sin dx X
0
t
J g2 (f) sin Pi (t - t') dt'
(5.134)
X
о
а суммарное перемещение при этом [см. выражение (5.73)]
У = Уст + У* = (*) ^ (t) + б2 (х) g2 (t) + у*, (5.135)
где (t) и g2 (t) - зависящие от времени перемещения, заданные
соответственно для левого и правого концов стержня.
Функции перемещения (б) для свободно опертого стержня являются примером
выражений, которые в дальнейшем будем называть функциями влияния
перемещений. Эти функции описывают перемещение рассматриваемой точки, при
единичном перемещении опоры. На рис. 5.22, а-г для стержня с жестко
защемленными концами показаны четыре типа таких функций вида
о у2 р уЭ р у2 уЗ
М*) = 1--^- + ^-; ба(*) = *-^т- + -?-;
Qy2 ОуЗ у2 уЗ
Ы*) = н?--п5-; М*) = -Т- + -ЛГ* (в)
При умножении функций влияния на заданные перемещения опор получаем
соответствующие перемещения стержня как деформируемого тела
г/ст = 6Х (*) gi (t) + S2 (х) g2 (t) +
+ 63 (x\g3 (t) + 64 (x)% (t). (r)
400
Рис. 5.22
Через gx (t) и g2 (t) здесь обозначены соответственно параллельный
перенос и поворот для левого конца, а через g3 (t) и g4 (t) - для
правого.
На рис. 5.23, а п б представлены перемещения консольного стержня,
обусловленные единичными независимыми перемещениями левой опоры, в
которой защемлен стержень и которая совпадает с началом координат. В этом
случае функции влияния перемещения опор имеют вид
64 (х) = 1; б2 (х) = х (д)
и совпадают с формами движения как абсолютно жесткого тела,
рассмотренными выше [см. выражение (а)]. С другой стороны, для стержня,
жестко защемленного на левом конце и свободно опертого на правом (рис.
5.24, а и б), функции перемещения
(*) = 1 §75- + - в,
Ш = (е)
При умножении этих функций на соответствующие перемещения опор получаем
следующее выражение, описывающее движение указанного консольного стержня
как податливого тела:
Уст = Si (*) gi (0 + S2 (х) g2 (0 + 83 (х) g3 (t). (ж)
Рис. 5.23
401
Рис. 5.24
Таким образом, для любого заданного вида независимых перемещений g (t)
опор можно определить соответствующую функцию 6 (х) влияния перемещения и
получить в результате выражение для динамических прогибов
i t
[ ?>(x)Xtdx [ g(t') sin Pi (/ - t')di'. (5.136)
Pi J J
1=1 0 0
Суммарное перемещение стержня
У = Уст + У* = б (х) g (/) + у*. (5.137)
Если перемещение опоры определяется несколькими видами движений, следует
вычислить динамические перемещения стержня, соответствующие каждому виду
движения опор, и результаты сложить, как было показано на примере
свободно опертого стержня [см. выражения (5.134) и (5.135)].
Пример. Предположим, что имеется стержень, свободно опертый на левом
конце и защемленный на правом. Записать выражение для динамических
прогибов стержня, вызванных заданным, параллельным оси у, перемещением g
