Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
поперечная сила не учитывается, а через Р - угол поперечного сдвига на
нейтральной оси для того же самого поперечного сечения. Таким образом,
суммарный угол наклона
dy/dx = ф + р. (в)
Из элементарной теории изгиба стержней следуют такие выражения для
изгибающего момента и поперечной силы:
M = EI-?g-;V==-WFG = -k,(3L-q>)FG, (г)
где k' - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; F - площадь
поперечного сечения; G - модуль сдвига. Дифференциальное уравнение,
описывающее условие равенства нулю моментов, действующих на малый
элемент, имеет вид
-Vdx + ^dx-pl-^dx = 0. (д)
* См. статью Timoshenko S. On the correction for shear of the
differential equation for transverse vibrations of prismatic bars. -
Philosophical Magazine and Journal of Science, 1922, Ser. 6, v. 41, N.
245, pp. 744-746; On the transverse vibrations of bars of uniform cross
section. - To же, 1922, Ser. 6, v. 43, N. 253, pp. 125- 131 (переводы на
русский язык этих статей приведены в кн. Тимошенко С. П. Статические и
динамические проблемы теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1975, с.
56-57 и 62-65. Экспериментальная оценка влияния поперечного сдвига дана в
работе Goens Е. Uber die Bestimmung des Elastizitatsmoduls von Staben mit
Hilfe von Biegungsschwingungen. - Annalen der Physik, 1931, B. 11, N. 6,
S. 649- 678; см. также: Davies R. M. The frequency of transverse
vibration of a loaded fixed-free bar. - IV. The effect of shearing of the
bar. - Philosophical Magazine and Journal of Science, Ser. 7, 1937, V.
23, N. 158, pp. 1129-1145. О необходимости учета деформации поперечного
сдвига в задачах о поперечном ударе по стержню см. Flugge W. Die
Ausbreitung von Biegungswellen in Staben.-Z. angew. Math, und Mech.,
1942, B. 22, N. 6, S. 312-318.
388
Подставляя выражения (г) в уравнение (д), найдем
Дифференциальное уравнение, вытекающее из условия равенства проекций на
вертикальную ось сил, действующих на малый элемент стержня,
можно^представить в форме
~iirdx~pF^dx==0- (ж)
Подставляя второе из выражений (г) в уравнение (ж), получим
<">
Исключая функцию ф из уравнений (е) и (з), находим более полное уравнение
поперечных колебаний призматических стержней
*'& + <*&-рЧ|+АЬЙг+#&-°- (5.115)
Применение этого уравнения 9 при определении частот колебаний стержней
будет показано ниже.
Вновь вернемся к свободно опертому стержню, который уже исследовался в п.
5.10 (см. рис. 5.14). Для того чтобы точнее определить частоты колебаний,
воспользуемся уравнением (5.115) вместо (5.83). Разделив каждый член
уравнения (5.115) на рF и введя обозначение
r\ = I/Fi, (и)
получим
"2 д*У I д2у (II Е \ д*у I -2 Р Ру _ п /ч ЦП дх* + dt2 в \ k'G ) dx2dt2 '
Е k'G dt4 - (5.11b)
Этому уравнению и заданным концевым условиям удовлетворяет решение вида
г/г = sin (inx/l) {At cos ptt + Bt sin ptt), (к)
которое содержит те же нормальные функции, что и относящиеся
к случаю рассмотрения поперечных колебаний стержня без учета инерции
вращения и деформации поперечного сдвига. Подставляя выражение (к) в
уравнение (5.116), получим следующее уравнение для нахождения частот
колебаний:
•2 2 9 9 9 9
2 '4Я4 2 2 'ЛГВ 2 ПГВ Е , Ф 4 ....
а /4 Pi Pi 12 Pi 12 k'Q "Ь fc'Q Pi (5.117)
Если в этом уравнении сохранить только первые два слагаемых, найдем
i2n2 ап2 , .
Pi = a-[T= - ' (л)
где - Ш - длины полуволн, на которые разделяется длина стержня при его
колебаниях. Полученный результат совпадает с полученным выше результатом
(5.102). Сохраняя в уравнении
13 Тимошенко С. П. и др.
389
(5.117) первые три слагаемых и используя формулу биномиального
разложения, получим
В этой формуле учитывается влияние инерции вращения, из которой видно,
что уточнение становится тем существеннее, чем меньше т. е. чем больше
частота колебаний.
Для того чтобы учесть влияние деформаций поперечного сдвига, возьмем
уравнение (5.117) в полном виде, когда в нем учитываются все слагаемые.
Подставляя первое приближенное значение (л) для pi в последний член этого
уравнения, видим, что он является малой величиной более высокого порядка,
чем величина лФУЦ. Пренебрегая последним членом уравнения, найдем
Приняв, что G = ЗЕ/8 и что поперечное сечение стержня имеет прямоугольную
форму, для которой к' = 0,833 *, получаем (Elk1) G = 3,2. Таким образом,
поправка на поперечный сдвиг в 3,2 раза больше поправки, учитывающей
инерцию вращения.** Предположив, что длина волны Ki i-й формы колебаний в
10 раз больше, чем высота поперечного сечения стержня, получим
откуда следует, что суммарная поправка по частоте pt, обусловленная
учетом инерции вращения и деформацией поперечного сдвига, составляет
примерно 1,7 %.
5.13. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СВОБОДНО ОПЕРТОГО СТЕРЖНЯ
В этом параграфе рассмотрим динамические прогибы свободно опертого
стержня при поперечных колебаниях, обусловленных распределенной нагрузкой
Q (х, t), сосредоточенной силой (t) или сосредоточенным моментом Л1х (t),
приложенным в точке х = хх (рис. 5.19). Как уже указывалось выше (см. п.
