Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(t) левой опоры стержня.
Решение. В рассматриваемом случае нормальные функции имеют вид
X-t = sh ky sin kLx - sin ky sh 6гх, (з)
где значения ki находим из решения трансцендентного частотного уравнения
(см. п. 5.11)
tgky = t\iky. (и)
Нормируя функции (з) в соответствии с выражением (5.97), получим I
J X'jdx = (sh2ky - sin2ky)-a.[. (к)
о
После нормирования функции Xi примут вид
Xi = (sh ky sin ktx - sin ky sh kiX)!Vа,-. (л)
402
Для случая перемещения левой опоры в направлении оси функция Влияния
перемещения имеет вид
"М"'-5Г+тк- <">
Далее, из выражения (5.136) определяем относительные динамические прогибы
I
"•--2-51-К-
f=l О
t
X Xtdx | g (/') sin Pi (t - /') dt', (h)
где Xi - нормальные функции (л). Общее решение для данного случая (см.
выражение (5.137)] можно представить в следующей форме:
</=('----------+ + (о)
ЗАДАЧИ
5.15.1. Определить динамические прогибы свободно опертого стержня,
обусловленные перемещениями его левой опоры, изменяющимися во времени по
гармоническому закону (t) = у! sin со/ (см. рис. 5.21, а).
Ответ: у -
ОО
JL 4- 2/4(°2 V ^
I л6а2 16
/=1
X
X sin
inx
Pi sin со/.
5.15.2. Предположим, что консольный стержень, показанный на рис.
5.23,6, поворачивается вокруг опоры так, что угловые перемещения
описываются функцией g2 (I) = 02 (///2)2, где 02 - малый угол. Получить
общее выражение для динамических перемещений стержня через функции Xi и
частоты pi.
Ответ: у = -р-
ОО I
-у- /' - ^-^Г- f xXidx (1 - COS Pit)
5.15.3. Получить общее выражение для динамических прогибов стержня с
жестко защемленными концами, обусловленных угловыми перемещениями правой
опоры, заданными в виде gt = 04 s>n (см- Рис. 5.22, г), если угол 04 мал.
Ответ: у -
х3 х-> yi со2Л(- г / х2 х3 \
I "Г" /3 + Zj (Р\ ~ ю2) J \ / + /а /
i=lv ' о
X
X Xtdx
04 sin со/.
403
5.15.4. Получить общее выражение для динамических прогибов стержня с
жестко защемленным левым концом и свободно опертым правым, обусловленные
перемещениями правой опоры, заданными в виде g3 (!) = у3 (tlt3)3 (рис.
5.24, в).
Ответ: у = -J. [ (-g- - -?.) <* - ? J (4^ ~
1 = 1 О
--?pr)xidx (*~7~sin ^)] *
5.16. СТЕРЖЕНЬ ПРИ ДВИЖУЩИХСЯ НАГРУЗКАХ
Хорошо известно, что нагрузка, движущаяся по мосту или балке, вызывает в
последних большие прогибы и напряжения, нежели при статическом приложении
той же самой нагрузки. Учет влияния движущихся нагрузок на конструкции
мостов имеет очень важное практическое значение, поэтому многие инженеры
трудились над решением данной задачи.* В этом параграфе будет обсуждаться
случай движущейся нагрузки, которая воздействует на балку либо как
постоянная, либо как изменяющаяся во времени сила. Будет учтена
распределенная масса стержня, но масса самой нагрузки рассматриваться не
будет. Системы, в которых учитывается влияние массы нагрузки (как
подпружиненной, так и неподпружиненной), описываются дифференциальными
уравнениями с переменными коэффициентами, поскольку положение нагрузки
меняется непрерывным образом. Исследование такой системы становится
довольно сложным делом и выходит за рамки этой книги.
Рассмотрим ** сначала движущуюся нагрузку Р, направленную вниз и
перемещающуюся по свободно опертому стержню слева направо с постоянной
скоростью v, как показано на рис. 5.25, а. Предположив, что в момент
времени t = 0 нагрузка находилась над левой опорой, видим, что в
произвольный момент^времени t расстояние между левой опорой и нагрузкой
будет равно vt. Возмож-
* Задача о невесомой балке, по которой перемещалась неподпружиненная
масса, впервые была рассмотрена Р. Уиллисом (см. Willis R. Report of the
commissioners appointed to inquire into the application of iron to
railway structures. - London: William Clowes and Sones, 1849. 435 p.).
Решение этой задачи для массы, движущейся с постоянной скоростью, было
получено с помощью рядов Г. Стоксом (см. Stokes G. G. Discussions of a
differential equation related to the breaking of railway bridges. -
Trans. Cambridge Phil. Soc., 1867, v. 8, N. 5, pp. 707-735). Им же было
дано решение для стержня сдюстоянной погонной массой, нагруженного силой,
движущейся с постоянной скоростью.
** Крылов А. Н. Собрание трудов. Т. 5. Математика и механика. М. - Л.:
Изд-во АН СССР, 1937, с. 513-537; перевод на русский язык работы "О
вынужденных колебаниях упругих призматических стержней" опубликован в кн.
Крылов А. Н. Избранные труды. Л.: Изд-во АН СССР, 1958, с. 288-314. См.
также Тимошенко С. П. Прочность и колебания конструкций. М.: Физматгиз,
1975, с. 139-179; Inglis С. Е. A mathematical treatise on vibrations in
railway bridges. Cambridge: University Press, 1934.
404
Рис. 5.25
ная работа, совершаемая вертикальной силой на возможном перемещении б ух
= 6ф;Хг при г-й собственной'форме колебаний стержня,
ЯбФгХг1= "е- - invt
-Ябфг Sin-
/
(а)
Используя это выражение для возможной работы движущейся нагрузки, а также
выражение, полученное в п. 5.13, найдем искомое выражение для
динамических прогибов
