Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
колебаниях призматического стержня.
Постоянные Съ С2, С3 и С4, входящие в выражение (5.85), являются
произвольными и должны определяться в каждом частном
случае в соответствии с условиями, заданными на концах стержня.
Например, для свободного конца прогиб и изгибающий момент равны нулю, что
дает
X = 0; X" = 0. (л)
373
На защемленном койцё равны нулю прогиб и угол наклона, следова-тельно, в
этом случае имеем
X = 0; X' = 0. (м)
На незакрепленном конце обращаются в нуль изгибающий момент и поперечная
сила. В результате получаем
X" = 0; X"' = 0. (н)
Поскольку у стержня есть два конца, всегда имеется возможность записать
такие концевые условия, используя которые можно найти величины Сг, С2, С3
и С4, а найдя их, определить частоты и формы свободных колебаний. Затем
нормальные формы можно просуммировать и получить результирующие
перемещения при поперечных колебаниях стержня
оо
У = Д Xj (Лг cos -f Bilslnpit). (5.86)
Конкретные случаи поперечных колебаний стержней с различными концевыми
условиями будут рассматриваться в следующих параграфах.
Запишем уравнение (з) в форме^задачи на собственные значения
x7 = hXt, (5.87)
где
Xi = k\ = (pt/af. (о)
Подобный тип задач можно представить как задачи, в которых четвертая
производная (в данном случае по х) функции X приравнивается самой
функции, умноженной на собственное значение Xt. Свойства ортогональности
собственных функций4исследуем путем рассмотрения i-й и /-й форм
колебаний:
X'v = XiXp, (п)
xY=liXi. (р)
Умножая уравнение (п) на Xj и уравнение (р) на Хг и интегрируя результат
по длине балки, получим
i i
J X'VX;- dx = Xi J XiXj dx; (c)
0 0
/ I
J XjvX; dx = Xj\ XiXj dx. (T)
о 0
Интегрируя по частям выражения, стоящие в левых частях этих равенств,
приходим к соотношениям вида
i i
[XiXj]1, - [X'iX'/Vo + J xlx;dx - Xi J X,X/dx; (y)
о 0
I I
[X'JXiVo - [XjX'iti + J Xlx] dx = Xj J XiXj dx. (ф)
о 0
374
Из концевых условий (л) и (н) следует, что стоящие в квадратных скобках
слагаемые в левых частях соотношений (у) и (ф) должны быть равны нулю.
Тогда вычитая равенство (ф) из (у), получим
i
(Л,,-*,,) Jx,x,d* = 0. (х)
о
Для того чтобы равенство (х) выполнялось при i ф j и при различных
собственных значениях (т. е. при А,г Ф 'kj), следует положить
i
^XjXjdx = 0 при 1ф). (5.88)
0
Подставляя это равенство в соотношение (у), получим
1
^X"cX'jdx = 0 при 1ф], (5.89)
о
а из соотношения (с) следует
i
\x\vXidx = 0 при г Ф /. (5.90)
о
Соотношения (5.88)-(5.90) определяют условие ортогональности для задачи о
поперечных колебаниях призматического стержня. 1 Для случая i = j
интеграл в соотношении (х) может принимать произвольное постоянное
значение ait а именно:
i
|х?с?х = а,- при i = j. (5.91)
0
Если собственные функции нормируются в соответствии с этим соотношением,
из равенств'(с) и (у) следует
' ' / D \2
J Xl?Xi dx = J (Х"с)2dx = Kiai = k\nt = l J a,. (5.92)
о 0
Для того чтобы преобразовать уравнение движения (5.82) к главным
координатам, перепишем его в форме
ту dx ф rylv dx = 0, (ц)
где т - pF - масса единицы длины балки, г= EI - жесткость при изгибе.
Представляя динамические перемещения в виде ряда по функциям времени ф4-
и функциям перемещений Xit запишем
У = 2j ФгХ.. 1 = 1,2, 3, ..., оо. (5.93)
1
375
Подставляя представление (5.93) в уравнение движения (ц), найдем
оо
'E(tnqicX[-\-rq>iX1[V)dx~0. (ч)
С-1
Умножая равенство (ч) на нормальную функцию Xj и интегрируя по длине
стержня, приходим к следующему равенству:
оо / /
2 тФ; 1 XiXj dx + гцц
1=1 \ о
Из соотношений (5.88) и (5.90)-(5.92) видно, что при i = / уравнение
движения в главных координатах принимает вид
"ггФг +/"ггф" = 0> t'=l, 2, 3, ..., оо, (5.94)
где
/
mri = т j X2 dx = таг; (5.95)
о
/ /
г и = г j X^Xi dx=r\ (X"i)2 dx = mpfai. (5.96)
о 0
Таким образом, главная масса mri при изгибных колебаниях вычисляется так
же, как и в случае продольных колебаний [см. выражение (5.19)]. Однако
здесь главная жесткость Гп [см. выражение (5.96) ] определяется иначе,
чем в случае продольных колебаний [см. выражение (5.20)].
Как и выше, положим в соотношениях нормированности постоянную
равной единице, поэтому соотношения (5.91) и (5.92)
примут вид
1 1 1 ! о \ 2
j X? dx = 1; f x)vXt dx = j (X"i)2 dx = k\ = ) . (5.97)
0 00
Тогда, разделив уравнение (5.94) на величину т, получим
Ф; ЬPffli = 0, i=l, 2, 3, ..., оо. (5.98)
Можно видеть, что применение метода нормальных форм к задаче изгибных
колебаний стержней приводит к уравнению, аналогичному по форме уравнению
для продольных колебаний стержня, полученному в п. 5.4. В силу отмеченной
аналогии, здесь не будут вновь выводиться выражения, описывающие
динамическое поведение стержней при поперечных колебаниях при заданных
начальных условиях и приложенных динамических нагрузках. Выражение для
динамических перемещений при изгибных колебаниях будут совпадать с
аналогичным выражением для задачи о продольных колебаниях [см. выражения
(5.23)-(5.29)], если в последних выражениях продольное перемещение и
