Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
г , дТ А -г т а 520
Т -f -fa-dx - Т - plndx
dt2
0.
(а)
В этом дифференциальном уравнении крутящий момент, являющийся
равнодействующим внутренних сил, действующих в поперечном сечении с
координатой х, обозначен через Т, а его положительное направление
показано на рис. 5.8, б. Через /" обозначен полярный момент инерции
поперечного сечения. В соответствии с введенными обозначениями момент
инерции масс для части вала длиной dx равен р/п dx, а угловое ускорение
d2Q/dt2. Из теории простого кручения следует соотношение
ф У~1 т 50
Т=Ш*Ж'
(б)
где G - модуль упругости при сдвиге. Подставив выражение (б) в уравнение
(а), после преобразований получим
520 1 дЩ
dx2 ~ b2 dt2 '
(5.54)
0)
6)
Рис. 5.8
359
Это выражение имеет форму одномерного волнового уравнения, из которого
следует, что скорость распространения крутильных волн
Ь = у G/p . (5.55)
Уравнение (5.54) и формула (5.55) совпадут по форме с уравнением (5.1) и
формулой (5.2), если в последних величины и, а и Е заменить
соответственно на 0,.(Дди G. Поэтому все полученные результаты для задачи
о продольных колебаниях призматических стержней можно распространить и на
задачи о крутильных колебаниях валов кругового поперечного сечения путем
простой замены обозначений. Например, в случае вала с незакрепленными
концами частоты и нормальные функции для соответствующих собственных форм
крутильных колебаний имеют вид
pi = inb/l\ Хх = Сгcos{piX/b), i= 1, 2, 3, ..., oo, (в)
а угловые перемещения при свободных колебаниях [см. выражение (5.6)1
оо
0 = 2 cos (inx/I) [At cos(inbt/l) + Bt sln (inbt/l)]. (5.56)
1 = 1
Аналогичным образом из полученных выше, в п. 5.2, выражений можно
получить решения для задачи о свободных крутильных колебаниях валов,
жестко защемленных по одному или обоим концам, а общее выражение для
решения в виде суммы нормальных форм колебаний следует из выражения
(5.25) в п. 5.4.
Для того чтобы исследовать угловые перемещения при вынужденных крутильных
колебаниях вала, обусловленных действием распределенного крутящего
момента, воспользуемся выражением (5.28). В этом случае величина q (х, t)
будет обозначать удельный распределенный крутящий момент, поделенный на
момент инерции р/п массы, отнесенный к единице длины вала. Аналогично,
выражение
(5.29) может быть использовано для случая сосредоточенного крутящего
момента 7\ (t), приложенного в точке х = хъ при этом в качестве члена,
определяющего нагрузку, в данном выражении следует взять qx (t) = Тх
(0/р/п-
В предыдущем параграфе было рассмотрено динамическое поведение
призматического стержня при продольных перемещениях опор. Развитый там
метод можно легко распространить на случай, когда для вала заданы
определенного вида угловые перемещения на опорах. Если обе опоры
поворачиваются как абсолютно жесткое тело, можно использовать выражения
(5.47) и (5.48), но функцию, описывающую закон движения опор, следует
взять в виде 0ОСН = = g (t). С другой стороны, если вал закреплен по
концам таким образом, что на каждом могут быть заданы независимые угловые
перемещения, следует использовать выражения (5.52) и (5.53). В этом
случае угловые перемещения на опорах задаются в виде функций^ 0ОСН1 = gi
(t) и 0ОСН 2 = g2 (t) соответственно для левого и правого концов вала.
360
/////
//////
77777
/77777
. dx
Рис. 5.9
Рассмотрим теперь случай вала с закрепленными на его концах дисками (см.
рис. 5.9). Вал может свободно вращаться, а моменты инерции дисков
относительно оси х вала обозначены через Д для диска на левом конце (х =
0) и через /2 для диска на правом конце (х = I). Подобная конструкция уже
рассматривалась выше, в п. 1.2, как система только с одной формой
крутильных колебаний, при этом пренебрегалось влияние распределенной
массы вала. С учетом этой массы система имеет уже бесконечное число
собственных форм колебаний, поэтому при таком подходе можно получить
более точные результаты. Для исследования поведения вала с дисками,
прикрепленными к обоим его концам, будет применен подход, описанный выше,
в п. 5.5, для призматического стержня с пружиной или массой,
прикрепленной к одному концу.
При крутильных колебаниях системы, показанной на рис. 5.9, возникающие
при этом инерционные крутящие моменты от закрепленных на концах вала
дисков приводят к концевым условиям вида
GIn (0')*=о = /i (0)*=o; GIn (Q')x=l = -h (0)*=ц (г)
Как и ранее, предполагаем, что t-я собственная форма гармонических
колебаний^имеет вид
0г = Хг(Лгсо8рг/ + Дг8трг/). (д)
Подставляя это выражение в выражения (г), получим
GlnXlo = -hfftXto, GInX'u = hp\Xih (e)
где индексы 0 и I относятся к сечениям соответственно х = 0 и х = I. В
этом случае нормальные функции можно записать в виде
Xt - Ct cos(pix/b) + Dt sin (pixjb). (ж)
Подставляя выражение (ж) в концевые условия (е), получим
GIn (Pi/b) Di = -hplCp, (з)
Gin (Pi/D) l-Ce sin (ptl/b) + Dt cos (ptl/b)} =
= hpl [Ct cos (pil/b) + Dt sin (pil/b)]. (и)
Соотношения (з) и (и) представляют систему двух однородных
