Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
/фо = R. (т)
В этом уравнении J = /0 1г -f- /2 - суммарный момент инерции системы; ф0
- ускорение движения как абсолютно жесткого тела; R - суммарный крутящий
момент, приложенный к валу и дискам.
Пример 1. Предположим, что к левому концу вала с незакрепленными концами
(см. рис. 5.8, а) приложен изменяющийся во времени по линейному закону
крутящий момент R = Rd/ti (где R1- значение крутящего момента в момент
времени t{). Исследовать обусловленное действием указанного крутящего
момента динамическое поведение вала, если в начальный момент времени вал
находился в покое.
364
Решение. Подставляя J = /0 = р/п I и R = Rxtltx в уравнение (т) и
интегрируя последнее по t дважды, получим угловое перемещение вала как
абсолютно жесткого тела
Rxt3 Rxt3
фо ;
()0/1 [//1
6Vi
(У)
Динамические угловые перемещения, которые следует просуммировать с
перемещениями (у) как абсолютно жесткого тела, определяются из выражения
(5.29), что дает
ОО t
0 = iBk 2 7"C0S sinр>(t - п dt'=
1=1 1 о
оо
2tfi VI Pix /, 1 Л
= - , , 7 -5- cos -г- ( t sin p.t ] =
hk La p} ь \ Pi у
i=i
oo
2l2Rx V 1 <nx 11 I inbt \
- 7^L - cos-V-^sm-T-)-
n2b2l0
(Ф)
i=i
Результирующие угловые- перемещения вала равны сумме перемещений (у) и
(ф). Например, результирующее угловое перемещение конца стержня в месте
приложения (х - 0) крутящего момента
(0)*=о
Rx
t3
2/2
n2b2
им
I
inbt \
T)
inb
i=l
Полагая t = tx~ Mb, находим
Ril
2G/n
(Ц)
Пример 2. Полагая, что моменты инерции трех частей, составляющих систему,
показанную на рис. 5.9, равны между собой, т. е. /0 = 1Х = /2, определить
динамические угловые перемещения, если заданы следующие начальные
условия:
0о = fx (х) = "о М - [)/1; 60 = /2 (х) = 0. (ч)
Начальное перемещение, описываемой функцией 0О, обусловлено равными и
противоположно направленными крутящими моментами, приложенными к дискам и
вызывающими относительный поворот концевых сечений на угол 2а0, которые в
момент времени ;0 = 0 внезапно принимают значения, равные нулю.
Решение. В рассматриваемом случае т]! = т)2 = 1, и трансцендентное
частотное уравнение (5.57) принимает более простой вид
(ш)
(6?- OtgEi = 2Бг.
Здесь функции Х{ нормируются в соответствии с выражением (5.62), что дает
I
j X? dx -|- X2i0 -|- Х2и ¦¦
1.
(Щ)
Для заданных начальных условий (ч) из выражений (5.64) н (5.65) получаем
' I
j (2x~l) Xi dx - /2 (Хи-Хи)
Фог - ¦
Фо; = 0.
365
В'результате угловые перемещения при свободных колебаниях в соответствии
с выражением (5.25) можно представить в следующем виде:
Еще одна из систем, для которых уравнение движения имеет форму
одномерного волнового уравнения, показана на рис.5.10, а. Система
представляет собой предварительно растянутую, не обладающую жесткостью
при изгибе нить, которая может свободно колебаться в поперечном
направлении. Предполагается, что растягивающая сила S в нити остается
постоянной при малых колебаниях в плоскости ху. Обозначим через у
поперечное перемещение произвольной точки нити, отстоящей на расстоянии х
от левого конца. На рис. 5.10, б показаны силы, действующие на малый
элемент нити длиной dx, при этом основной интерес представляют проекции
этих сил на ось у. При колебаниях сила инерции уравновешивается
растягивающими силами, приложенными к концам малого элемента нити. При
малых углах наклона из условий динамического равновесия следует
где т - масса единицы длины нити. Отсюда получаем дифференциальное
уравнение движения этой системы
есть скорость распространения поперечных волн в продольном направлении.
Как можно видеть, уравнение (5.56) и выражение (5.67) будут совпадать
соответственно с уравнением (5.1) и выражением (5.2),
оо Г /
Q = cos (э)
i=i Lo
5.8. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО РАСТЯНУТЫХ НИТЕЙ
(а)
д*у 1 дгу
дх2 с2 dt2 '
(5.66)
где
с = У S/m
(5.67)
У
Рис. 5.10
366
если в последних вместо и, а, Е и р взять соответственно у, с, S и т.
Поэтому многие из ранее полученных выражений, описывающих продольные и
крутильные колебания стержней и валов, могут быть применены к случаю
поперечных колебаний растянутых нитей путем простой замены
соответствующих обозначений. Однако в данном случае несколько усложняются
концевые условия, что связано с необходимостью учитывать силы S
предварительного растяжения нити. Простейший вид концевых условий показан
на рис. 5.10, а для нити с обоими закрепленными концами. В этом случае
концевые условия имеют вид
{у)х=о = 0; (у)х=1 = 0. (б)
Тогда частоты и нормальные функции
Pi = inx/l; Xi = pt sin (piX/l), t = l, 2, 3 oo. (в)
На рис. 5.10, в-д показаны нормальные функции соответственно для первой,
второй и третьей форм колебаний. Если эти функции нормируются в
соответствии с выражением (5.22), имеем
Д = /2/7.
Представим начальное поперечное перемещение произвольной точки нити в
момент времени t = 0 в виде функции у0 = Д (х), а начальную скорость в
виде функции у0 = Д (х). В соответствии с выражениями (5.23) и (5.24)
имеем следующие представления для начальных условий в нормальных
