Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
стержня,
8i (0 = 82 (0 =8(0,
из выражения (5.49) получаем иСТ = и0СИ = g (t). В этом случае движение,
обусловленное податливостью стержня, представляет движение как абсолютно
жесткого тела (с жестко закрепленными обоими концами), а выражения
(5.50)-(5.53) совпадают с соответствующими выражениями (5.45)-(5.48).
356
Пример 1. Предположим, что движение опоры показанного на рис. 5.6 стержня
происходит по закону, описываемому параболической функцией "огн- g (0 - =
и1 (t/ti)2, где иг - перемещение в момент времени tx. Определить
обусловленные указанным движением динамические перемещения стержня, если
в начальный момент времени стержень находился в покое.
Решение. Из приведенных выше исследований продольных колебаний стержня
имеем
Pi - inaj'21; Xi = ]/~2/1 sin (ptx/a), i - 1, 3, 5, ..., oa,
где Xt - нормированные в соответствии с выражением (5.22) функции.
Дифференцируя функцию ц0сн> определяющую закон движения основания
системы, дважды по времени, получим
"оси - ё (t) =
Тогда из выражения (5.47) получаем перемещения при относительном движении
СО It
4"i
"?
У -1- sin pl* J sin dx J sin pi (t - t')dt'
l = i; 3, 5,
8"i VT 1 ptx
x sin (1 - cos Pit)
nt) ip) a
i = 1,3,5,
CO
32/2Uj 1 inx ( . inat
n 8a2/f
i = l, 3, 5, ...
а из выражения (5.48) определяем общее перемещение
У1 . inx / . inat \ . ,
(н)
ui
п
32/2 х ^ 1 .inx / . inat \ ] , .
*Ь -sm-wv~cos^r)\- (0)
т3а3
1 = 1, 3, 5,
Пример 2. Предположим, что опоры показанного на рис. 5.7 стержня
совершают простые гармонические движения в виде
иосн 1 = gi (0 = ui sin со it', иосн 2 = §2 (/) = u2 sin <о2/;
здесь и и2 - амплитуды колебательных движений соответственно левой и
правой опор; (Oj и со2 - круговые частоты колебательных
движений опор. Определить
перемещения произвольной точки стержня при установившихся вынужденных
колебаниях, обусловленных указанными независимыми движениями опор.
Решение. Поскольку оба конца показанного на рис. 5.7 стержня жестко
закреплены, собственные частоты и нормированные формы колебаний
применительно к данному случаю имеют вид
Pi = inajl\ Xi = \f2/l sm (ptx/a), i= 1, 2, 3, ..., oo.
Из выражения (5.49) видно, что перемещения, обусловленные податливостью
невесомого стержня:
I % %
ист =-j ui sin coj/ + -j- ti2 sin <о2/, (п)
тогда вторая производная этой функции по времени будет иметь вид
Ист =-----^ I Х mlMl Sin М1 ^ Y <a2U2^in0V' (р)
357
Возникающие при установившихся колебаниях динамические перемещения и*
произвольной точки стержня относительно перемещения цотнаходим из
выражения (5.52), выполнив интегрирование по времени
оо / t
* 2 VI 1 inx I 2 а , f / X . inx , ,
u = - 2j Sln -f~ "l"lPn Sln J - Sin -J- dx + <•=! 1 \ 0
, 2 о . f X . i ПХ \
+ Ю2и2Р<2 Sln I ~sin-J- dx I =
0 '
00
2/2 \1 1 iftX r 2 n • - л / t\i 2 a *1
= 2j "Sin ~T~ KMlPn sm ~ (~1} (r)2U2pt-2 sin
(C)
1=1
где Pn = 1/[1 - Pi2= !/[l
Подставляя выражения (п) и (с) в выражение (5.53), найдем суммарное
перемеще-
ние стержня
I - х 2/2и? VI Рл . inx
' 1 ' r -S1H-J-
+
-X 2/2ср| У< Рг; I ^ я3a2 Zj г'3
1=1
ОО
т-
"1 sin (Щ! +
(=1
(т)
ЗАДАЧИ
5.6.1. Стержень, конец х= 0 которого свободен, а конец х = I жестко
закреплен, колеблется вследствие того, что основание совершает
колебательное движение по гармоническому закону и0сн = g (t) = d sin at,
где d - амплитуда колебательного движения.
Определить динамические перемещения стержня при установившихся колебаниях
при заданном движении основания.
Ответ: uj=
1 +
16/2о>2
я3а2
I = 1, з, 5, ...
13
(-D
COS
21
d sin иt.
5.6.2. Определить динамические продольные перемещения стержня с
жестко закрепленными концами при движении основания как абсолютно
жесткого тела по закону н0СН = g (0 = Щ (tltifi.
Ответ: и -
812
ОО
V3 1 inx /. inat \ 2j -Wsm~r - cos-J-)
i = 1,3,5,..
5.6.3. Опора x - 0 жестко закрепленного по обоим концам стержня
совершает движение по закону иосн1- gi (t) = их (titj)2, тогда как опора
х = I остается неподвижной. Определить возникающие при этих условиях
продольные динамические перемещения стержня.
Ответ: и
"г
П
I-
4/а
я3а2
ОО
2 1 , inx /, inat \
- 'Sin- (/-cos-)
?**1
358
5.6.4. Предположим, что опора на конце х = / стержня, рассмотренного
в задаче 5.6.3, совершает движение по закону
иосна = 82 (0 = иа (^а)3-
Определить те добавочные динамические продольные перемещения,
обусловленные указанным движением, которые следует прибавить к
перемещениям, найденным в задаче 5.6.3.
Ответ: и = ¦
4-/"+
I п3а''
12/2
3/72
('
-I)1 inx 7^- Sin ;------------
I
inat
1=1
5.7. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
На рис. 5.8, а показан прямолинейный вал, крутильные колебания которого
рассмотрим ниже. Через 0 обозначим угол закручивания (вокруг осиУвала)
произвольного поперечного сечения, расположенного на расстоянии х от
левого конца вала. При крутильных колебаниях вала условие равновесия
упругих и инерционных крутящих моментов, действующих на малый элемент
вала (рис. 5.8, б), запишем в соответствии с принципом Даламбера в виде
