Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
заменить на поперечное у.
370
\xYXjdx 1 = 0.
(ш)
5.10. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СВОБОДНО ОПЕРТОГО СТЕРЖНЯ
В качестве первого частного случая поперечных колебаний стержня исследуем
свободно опертый призматический стержень, показанный на рис. 5.14.
Концевые условия для этого случая имеют вид
(*)"" = 0; (4Н-.-0;
О)" = 0; {фг)", = 0 (а)
и означают, что перемещение и изгибающий момент равны нулю на каждом
конце.
Здесь полезно записать общее выражение для нормальной функции [см.
выражение (5.85)] в следующей эквивалентной форме:
X = Сг (cos kx + ch kx) + C2 (cos kx - ch kx) +
+ CS (sin kx + sh kx) + C4 (sin kx - sh kx). (5.99)
Из первых двух условий (а) следует, что постоянные С4 и С2 в выражении
(5.99) должны быть равны нулю. Из третьего и четвертого условий следует,
что С3 - С4,
sin kl = 0, (5.100)
причем последнее равенство является частотным уравнением для
рассматриваемого случая. Не равные нулю положительные корни этого
уравнения ktl = in при i = 1, 2, 3, ..., оо. Отсюда следует
k-, = in/l, i = 1, 2, 3, ..., оо. (5.101)
Круговую частоту, соответствующую этим значениям /е;, получаем из формулы
, 2 /2л2а 12л2 1 Г Е1 , лоч
= j/(0.102)
Тогда период колебаний находим из выражения
1 2л 2Iй 7 f pF 1ЛО,
Как видно, период колебаний для произвольной формы колебаний
пропорционален квадрату длины и обратно пропорционален радиусу инерции
поперечного сечения. Таким образом, для геометрически подобных стержней,
изготовленных из одного материала, периоды собственных колебаний прямо
пропорциональны геометрическим размерам.
Формы кривых, описывающих прогибы^ при "[колебаниях, за-
а именно:
Xi -Di sin&i* - Di sin(mx//),' t'=l, 2, 3, ..., oo. (5.104)
Таким образом, формы колебаний имеют вид синусоид, первая из которых
показана штриховыми линиями на рис. 5.14. Нормальные функции для свободно
опертого стержня, как видно из сказанного, совпадают с нормальными
функциями для колеблющейся предварительно растянутой нити с неподвижно
закрепленными концами (см. рис. 5.10, в, д). Для того чтобы удовлетворить
условиям (5.97) нормированности, надо положить Dt - уг2/1.
& Определим теперь динамические перемещения при поперечных колебаниях
свободно опертого стержня, обусловленных начальными условиями, заданными
в виде перемещений и скоростей. Как и в случае колебаний растянутой нити,
представим распределение начальных поперечных перемещений в произвольном
сечении стержня в момент времени t = 0 в виде функции у0 = f1 (х), а
распределение начальных- скоростей - в виде функции у0 = (х). Общая форма
решения задается выражением (5.86), полученным в предыдущем параграфе, и
она аналогична решению (5.25), полученному методом нормальных форм в п.
5.4. Если нормированные функции (5.104) подставить в выражения (5.23) и
(5.24), в результате получим
Подставляя эти выражения в решение (5.25) и заменив и на у, получим
даются нормальной функцией [см. выражение (5.99)] при Сл = С2 = 0 и С3 =
С4 = D/2,
Фо/ = jh(x)Xidx=Y''T\Ь М sin ~Т~dx'
(б)
О о
о
Фог = | N (х) Xt dx = У-j-1 h (x) L
(в)
0
0
oo
y = -/ cos | fi (x) sin dx +
i=1 L о
(5.105)
378
Сравнивая это выражение с выражением (5.86), видим, что постоянные
/
Ai = -r\ fi(x) sin -^dx; (г)
О
I
Bi = ij- J /2 (*) sin dx. (д)
о
В качестве примера задачи о поперечном ударе предположим, что на коротком
участке стержня длиной 6, расположенном на расстоянии хх от левой опоры,
задана начальная скорость v. В этом случае Д (х) = 0, а функция /2 (х)
равна нулю во всех точках, кроме точки х = хъ где /2 (хг) = v. Подставляя
эти условия в выражения (г) и (д), получим
л п D 2v^ • 1ПХ1
Л;=0;-----------------В;=-.------------Sin-Т+
1 1 Ipi I
lPl
тогда суммарное динамическое перемещение определяется выражением
У
2v6 1 inx inx, , , .
sin-- sin-p-sinpi/. (e)
I
1=1
Если удар производится в середину пролета (т. е. в точку хх = 112), имеем
2иб / 1 . пх , , 1 Зпх , .
и = -т- - sm -т- sin pd sin -j- sin p4 +
* I \Pl l рз i
1 . 5ях . , \ 2v61 / . nx . ,
+ 7rsin"T~sin^-• ~
1 . Злх , , i 1 5nx , \ / ,
g-sin-- sinp3i + -25 sin-sin pbt - . . . j. (Ж)
Видно, что в этом случае возникают только симметричные формы колебаний,
при этом величины амплитуд, входящих в выражение (ж) форм колебаний с
последовательно возрастающими номерами, убывают по закону 1/i2.
ЗАДАЧИ
5.10.1. Определить собственные частоты Д колебаний двутавровой балки,
колеблющейся в плоскости ее стенки, если дано, что I = 9,14 м, Е - 2,11-
1011 Па, I = 1,26-10"* м4, погонный вес составляет 1,489-103 Н/м.
Ответ: Д = 24,81? с-1.
5.10.2. Свободно опертый стержень прогнулся под действием силы Р,
приложенной в середине пролета. Определить поперечные динамические
перемещения стержня при колебаниях, возникающих при внезапном снятии силы
Р.
п 2PI3 V* (- 1)Z-1/2 , inx . . , 0 .
Ответ: у = -n,^j- У h---------------"s,n-j~C0SPii> * = 1, 3, 5, . .
., 00.
i
379
5.10.3. Решить предыдущую задачу, предполагая, что сила Р приложена в
точке х = хх.
