Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
5.9), для первых двух случаев нагружения не требуется получать общих
выражений, описывающих неустановившееся поведение стержня. Из выражения
* Несколько иное значение для к' было получено Р. Олссоном. См. Ols-son
R. G. Zur Berechnung der Frequenz der Transversalschwingung des
prismatischen Stabes. - Z. angew. Math, und Mech., 1935, B. 15, N. 4, 245
S. M
** По решению j уравнения (5.116) см. Anderson R. A. Flexural vibrations
in uniform beams according to the Timoshenko theory. - Trans. ASME. J.
Appl. Mech., 1953, v. 20, No. 4, pp. 504-510.
(m)
Pi =
(IJl'
390
Q(x,t)
TffTTTff
km
мл)
dx
/7777?
Рис. 5.19
(5.28) можно найти поперечное динамическое перемещение у,
обусловленное действием распределенной поперечной нагрузки
Q (х, t):
оо It
у = j Xi j q(x, t') sin pi (t - t') dt' dx, (5.119)
i=l 1 о 0
где q (x, t) = Q (х, i)/m.
Аналогичным образом из выражения (5.29) определяем перемещение при
действии сосредоточенной силы (():
У = 2 U J ^ ^ sin Pi V ~~ dt''
i=1 1 о
(5.120)
где Аг1 - значение функции Xt в точке х = хг; qx (/) = Рг (t)/m.
Поскольку момент (t) не соответствует виду возникающих перемещений,
последние нельзя определять непосредственно. С этой целью воспользуемся
методом возможной работы так, как это было сделано выше (п. 5.3). При
таком подходе функцию, описывающую линию прогибов, представляют в виде
ряда
У = ? фjXj, /=1
(а)
тогда возможное перемещение при i-й форме колебаний бyt = 6сргХ;. В этом
случае возможная работа распределенных сил инерции на возможном
перемещении при i-й форме колебаний
г "
6№иг = j (- pF.dxy)byi = - т6фг \yXidx.
(б)
Подставляя представление (а) в выражение (б) и учитывая соотношения
ортогональности (5.88) и нормированности (5.97) при i = /, получим
б№и; - - (tm)p(-6cpi j Х\ dx = - тф,бф(.
13*
(в)
391
Энергия деформации, обусловленная изгибом стержня:
/ i
U=\-^r(y"?dx = -^\{y"fdx. (г)
о о
Подставляя выражение (а) в выражение (г) и учитывая соотношения (5.89) и
(5.97), найдем
ОО I оо
и = ~Y ^ Ф/ J (Х'/У dx = ^ к)ч>)- (д)
/=1 0 /=1
Возможную работу упругих сил при i = / можно определить следующим
образом:
SW'yt = - бф,- = - rktofitpi = - mpiyfiyi. (е)
Для того чтобы определить возможную работу, совершаемую сосредоточенным
моментом, заметим, что этот момент совершает работу на угловом
перемещении бу\, возникающем в точке его приложения. Тогда работу момента
Мi на возможном перемещении при i-й форме колебаний можно записать в виде
WMli = Mi8y'u=Mi8q>iX'n, (ж)
где Х'ц - значение первой производной функции X,- по х, вычисленное в
точке х = Xi.
Суммируя выражения (в), (е) и (ж) и приравнивая результат нулю, получим
тф; + mptoi = MiX'a. (з)
Разделив левую и правую части равенства (з) на т, найдем
Ф/ + = М\Х'ц!т, 1=1, 2, 3, . . ., оо. (5.121)
Полученное соотношение представляет типичное уравнение движения в
нормальных координатах, а стоящий в правой части член - нагрузку,
соответствующую г'-й нормальной форме колебаний.
Для i-й формы колебаний интеграл Дюамеля для рассматриваемой задачи
фг = (5.122)
О
а соответствующие полные поперечные динамические перемещения стержня
имеют вид
оо t
У = И JMi in sin Pi {t ~ n dt'- (5-123)
1=1 1 0
Таким образом, с помощью подхода, основанного на рассмотрении возможной
работы, и представления решения в виде ряда по нормальным формам
колебаний мы получили выражение для перемещений при неустановившемся
поведении, аналогичное выражению
392
для случая действия сосредоточенной силы [см. выражение (5.120)]. Однако
в последнем выражении величины Рг и Хц следует при этом заменить
соответственно на М\ и Х'ц.
В частном случае свободно опертого стержня его круговые частоты и
нормированные функции, описывающие формы колебаний (см. п. 5.10), имеют
вид
,, (2зт2а v ч Г 2 inx . , " "
Pi = k\a = ¦ l2 ; Л,= у -sin-у-, i = l, 2, 3, . . ., оо.
(и)
Подстановкой нормальных функций в выражение (5.119) для перемещений при
действии изменяющейся во времени распределенной силы получаем
оо I t
у = ^ -^7 sin j sin -р- j q (х, f) sin pt (t - t') c#' d*.
1=1 о 0
(5.124)
Аналогично из выражения (5.120) для случая действия изменяющейся во
времени сосредоточенной силы имеем
оо t
У = "Г S "рГ sin НГ sin ~Г" j ^ ^ sin Pi (^ - О . (5-125)
?=1 г о
а выражение (5.123) дает решение для случая действия сосредоточенного
момента
ДО t
у = 'It 2 ~рГ sin sin irL 1Ml ^sin Л ^ - ^ ^'
(=1 1 о
(5.126)
Выражения (5.124) и (5.125) аналогичны выражениям (5.69) и (5.70) для
предварительно растянутой нити (см. п. 5.8), а выражение
(5.126) применимо только к элементам конструкций, обладающим изгибной
жесткостью.
В качестве примера рассмотрим случай, когда сила изменяется во времени по
гармоническому закону Рг - Р sin сot и приложена в точке х = xt. Тогда
соответствующие динамические перемещения стержня в соответствии с
выражением (5.125) имеют вид
оо i
2Р v" 1 inx 'nxi Г . ¦ /j.
у = -р 2^ - sin ~Т~ sin -~Г~ J sin sin Pl м ~ ' ) " -
i=l 0
OO
2P V4 1 • inx . itcxi / . , co ,\ D
