Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
закрепленной по обоим концам. В этом случае выражение (5.75) принимает
форму (в). С другой стороны, если kx и k2 малы, из уравнения (5.74) и
выражения (5.75) следует
Pi = incfl; Xi = Ci cos (ptx/c), i= 1, 2, 3, ..., oo, (p)
что соответствует случаю, когда оба конца не закреплены. И,
наконец, если величина kx большая, a k2 малая, уравнение (н)
сводится
к виду
cos (pil/c) = 0, (с)
откуда получаем выражения для частот и нормальных функций [см. выражение
(5.75)]
Pi - mc/2l\ Xt - Di sin(pjX/c), i = 1, 3, 5, . .., oo. (t)
370
Эти выражения показывают, что левый конец НИтИ неподвижно закреплен, а
правый может свободно перемещаться.
С помощью изложенного в п. 5.5 метода можно получить следующие
соотношения ортогональности для случая колебаний предварительно
растянутой нити, оба конца которой установлены на поперечные пружины, при
i Ф /:
i
т J XiXj dx = 0; (5.76)
о
i
S J X'iX'j dx + kiXi0Xi0 + kaXi,Xf, = 0; (5.77)
0
/
S | XiXj dx SXioX/o - k\XitjXjo - ЕХцХц - к2ХцХц = 0. (5.78)
о
Условие нормированности выбираем в виде
i
т | Xi dx = т при i - /, (5.79)
о
откуда следует
i
S [ XiXi dx + SX'l0Xm - kiXl - SX'tiXil - k2X2n =
6
i
= -S J (Xi)2 dx - kxX2i0 - koXu = -mpl (5.80)
о
Соотношения (5.76)-(5.80) совпадают с соотношениями (5.39)- (5.43), если
в последующих жесткость'"/- = EF заменить на растягивающую силу S. Кроме
того, первые соотношения содержат слагаемые, учитывающие влияние
жесткости пружин, установленных как на правом, так и на левом концах
стержня.
Поскольку условие (5.79) совпадает с условием нормированности,
использовавшимся в п. 5.4, полученные там выражения (5.23)- (5.25),
описывающие неустановившееся поведение системы при заданных начальных
условиях, можно применять и в случае нити, опирающейся на упругие опоры.
Используя выражения (5.28) и
(5.29), можно также исследовать динамическое поведение системы при
действии изменяющихся во времени поперечных сил. Более того, из выражений
(5.52) и (5.53) можно определить динамические перемещения при колебаниях
нити, обусловленных изменяющимися во времени независимым образом
перемещениями уоц1 и у0п2 опор (см. рис. 5.12). Таким образом, видно, что
введение упругих опор, оказывает влияние на частоты и формы колебаний, но
не на последовательность шагов при решении задачи о динамическом
поведении.
371
5.9. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ
СТЕРЖНЕЙ
Рассмотрим теперь поперечные колебания призматического стержня (рис.
5.13, а) в плоскости ху, которая является плоскостью симметрии для его
поперечных сечений. Так же, как и выше, в случае колебаний растянутой
нити через у обозначим поперечное перемещение малого
элемента стержня, расположенного на расстоянии х
от левого конца последнего. Если для нити жесткость при изгибе EI
предполагалась малой, в случае стержня эту жесткость следует учитывать.
На рис. 5.13, б показан малый элемент стержня длиной dx, а также
внутренние и внешние силы, действующие на него. На этом рисунке знаки
поперечной силы V и изгибающего момента М взяты в соответствии с принятым
в теории изгиба стержней правилом *. При поперечных колебаниях стержней
условие динамического равновесия сил, действующих в направлении оси у,
имеет вид
V~ V-~~dx-pFdx^r = 0, (а)
а условие равенства моментов дает
-Vdx + ~^~dx та 0. (б)
Выражая V из уравнения (б) и подставляя результат в уравнение (а),
получим
^-dx=-pFdx-^-. (в)
Из элементарной теории изгиба стержней имеем соотношение
" = М
Подставляя это выражение в уравнение (в), находим
= (5.81)
* См. с. 96 в кн. Timoshenko S., Young D. H. Elements of strength of
materials, цитированной в n. 1.1.
X dx
I
T
a)
6)
Рис. 5.13
372
кто является общим уравнением поперечных свободных колебаний стержней. В
частном случае призматического стержня с жесткостью Е/ при изгибе, не
зависящей от х, имеем
EI-%Ldx = ~-pFdx-&-. (5.82)
Это уравнение может быть представлено и в такой форме:
^ = (5.83)
где
a=VEIIpF. (5.84)
Когда стержень колеблется в поперечном направлении по одной из форм
собственных колебаний, его прогибы в произвольной точке
будут изменяться во времени по гармоническому закону
у - X (A cos pt -f В sin pt). (д)
Здесь для удобства записи опущен индекс i, обозначающий i-ю форму
колебаний. Подставляя представление (д) в уравнение (5.83), получим
Ш -4-Х = 0. (е)
dx* а2
Учитывая необходимость решать обыкновенное дифференциальное уравнение
четвертого порядка, введем обозначение
р2/а2 = kA (ж)
и перепишем уравнение (е) в виде
**-А*Х = 0.. (з)
Примем в уравнении (з) X = епх, что даст
епх (пА - kA) = 0. (и)
Таким образом, видам, что величина п может принимать следующие значения:
п1 = k, п2 = -k, ns = ik, n4 = -ik, где i2 = -1. Общее решение уравнения
(и)
X = Cekx + De~kx + Eeikx -f Fc~ikx, (к)
которое можно записать в следующей эквивалентной форме:
X = Сх sin kx + С2 cos kx + C3 sh kx + C4 ch kx. (5.85)
Полученное выражение является нормальной функцией задачи о поперечных'
