Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
растягивающей силы
оо
г/ = ^ sin (At cos ptt + Bt sin ptt), (з)
j=i
где pi находим по формуле (5.143). Если заданы начальные прогибы и
начальные скорости, произвольные постоянные Лг и Bt, входящие в решение
(з), можно определить точно так же, как и выше (см. п. 5.10).
Если на стержень вместо растягивающей действует сжимающая сила, частоты
поперечных колебаний уменьшаются и выражение
410
для определения значений частот получаем заменой 5 в формуле (5.143) на -
5, что дает
р ]/! _ (5.144)
/2 V г2?7я2 •
Эта формула дает меньшие значения частот, чем получаемые для свободно
опертого стержня без сжимающей осевой силы. Указанные значения зависят от
члена SP/EIn2, представляющего собой отношение осевой силы к эйлеровой
критической сжимающей нагрузке. Если это отношение становится равным
единице, частота низшей формы колебаний принимает значение, равное
единице, и тогда приходим к случаю потери устойчивости при осевом сжатии.
При исследовании динамических перемещений в условиях вынужденных
колебаний свободно опертого стержня, сжатого осевой силой S, поступают
так, как описано в п. 5.13. При этом необходимо только вместо простого
выражения (5.102) взять более сложные выражения (5.143) или (5.144). Все
остальные этапы исследования остаются без изменения.*
5.18. СТЕРЖНИ НА УПРУГИХ ОПОРАХ ИЛИ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Всевозможные условия закрепления концов стержня могут иметь промежуточные
значения между двумя крайними случаями: отсутствием закрепления и жестким
защемлением. Если характер закрепления концов таков, что возникающие в
опорах силовые факторы являются линейными относительно смещений или углов
поворотов, связи в опорах можно представить в виде набора пружин,
показанных на рис. 5.27. Пусть kx и k2 - жесткости пружин, работающих
соответственно на растяжение - сжатие и закручивание и установленных на
левом конце; k3 и ki - то же, для правого конца.
* Если стержень имеет концевые условия, отличные от свободного опирания,
формы колебаний должны удовлетворять как уравнению (5.142), так и
заданным концевым условиям. В этом случае ни формы, ни собственные
частоты колебаний не будут совпадать с теми, что были найдены в п. 5.11.
14*
Рис. 5.27
411
Для указанного случая концевые условия можно выразить следующим образом:
V,=o = EI (Х'")^0 = - К (Х)х=й;
Мх=о = Е1(Х")х=0 = кг(Х')х=о-, (а)
Vx=t = EI (Х'")хЫ = k3 (X)x=t; МхЫ = EI (Х")хЫ = - k4 (X')x=l.
Нормальные функции и их производные по х, необходимые для рассмотрения
данного случая, имеют [см. выражение (5.85) ] вид
X = Сг sin kx + С2 cos kx + С3 sh kx + C4 ch
kx;
X' = k (C4 cos kx - C2 sin kx + C3 ch kx + C4 sh
kx); (6)
X" = k2 (-C4 sin &x - C2 cos kx + C3 sh kx + C4
ch kx);
X'" = /г3 (-C4 cos kx + C2 sin &x + C3 ch &x + C4
sh kx),
где, как и выше, k = р!а. Подставляя выражения (б) в условия (а), получим
Е1к3Сг - &4С2 - EIk3C3 - k1Ci = 0;
-kiC1 - EIkC2 - k2C3 + ElkCi = 0;
(- Elk3 cos kl - k3 sin kl) C4 + (Elk3 sin kl - k3 cos kl) C2 -f-4- (Elk3
ch kl - k3 sh kl) C3 4- (Elk3 sh kl - k3 ch kl) C4 = 0;
(- Elk sin kl 4- kt cos kl) C4 -j- (- Elk cos kl - kt sin kl) C2 +
4- (Elk sin kl 4- ki ch kl) C3 4-
-f (Elk ch kl + kt sh kl) Ci + 0 (5.145)
Эта система четырех однородных алгебраических уравнений будет иметь
нетривиальные решения только в том случае, если определитель матрицы,
составленный из коэффициентов при С4, С2, С3 и С4, равен нулю. Тогда,
разложив этот определитель, можем получить частотное уравнение для
стержня с упругим закреплением на концах (см. рис. 5.27). Подставив корни
этого характеристического уравнения обратно в уравнения (5.145),
можно определить нормальные
функции (с точностью до произвольной постоянной).
Полагая жесткости соответствующих пружин равными либо
нулю, либо бесконечности, из системы уравнений (5.145) можно
получить определители как для стержня с незакрепленными концами, так и
для стержня с жестко защемленными концами. Например, для консольного
стержня, левый конец которого жестко защемлен, а правый не закреплен,
имеем kx = оо, k2 = оо, k3 = 0 и /г4 = 0. В этом случае определитель
имеет вид
0 10 1
1 0 10
- coskl sin kl ch kl s\\ kl ^
- sin kl - cos kl sh kl ch kl
412
Рис. 5.28
где элементы первой строки были поделены на -/гь а второй - на -/г2.
Разложение этого определителя приводит к следующему частотному уравнению:
cos kl ch kl = -1, (г)
которое совпадает с уравнением (5.109). Выражение для нормальных функций
(с точностью до произвольных постоянных Ci) имеет вид
У р / sin kiX - sh kix coskix-ch , .
1 1 \ cos kil + ch kil sinfe,/-sh Aji /
Если упругие опоры, препятствующие свободному перемещению в поперечном
направлении, распределены непрерывным образом по длине стержня, имеет
место задача о стержне на сплошном упругом основании. На рис. 5.28
показан такой стержень, для которого упругое основание представляется в
виде большого числа близко расположенных пружин. Будем называть
коэффициентом постели kn отнесенную к единице длины стержня силу,
