Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
первых слагаемых:
X2 = a1(l-^)2+a2^(l--f)2. (о)
Подставляя это представление в выражение (з), найдем
Z2 = -g- -р- - 2а2) Н-д-о-ч (CL\ - 2а2) + 6a2J -
Zbplp2 г а[ . 2агаг а\ 1
Е I 30 105 280 J '
Условия
dZjdaj = 0; dZ2/da2 = 0
дают следующие два линейных уравнения:
/ Е Ь2 р2 \ , / 2Е Ь2 р2 \ " , ,
31* зо"/Ul \"5р""з7г ШГ) а2 - 0; (п)
/ 2Е Ь2 р2 \ . / 2Е Ь2 р2 \ " , ,
( 5р 31* 105 /а* \ 5р 31* 280 ) а2 - 0. (р)
Приравнивая нулю определитель матрицы, составленной из коэф фициентов
этого уравнения, приходим к уравнению
(JLJ0-_____р3 \ / 2Е Ь2 р2 \ /2Е Ь2 р2 \2
\ р 31* 30 / V 5р 31* 280 / V 5р 31* 105 / ~'
' '
Решив это уравнение, можно вычислить /ц,2. Тогда наименьшему из этих
корней будет соответствовать
f - л*. = 5,3196 л[ JL 1г\
11 2я 2nl2 F Зр'
422
Для рассматриваемого случая имеется точное решение, для которого
нормальные функции являются функцией Бесселя *. Из этого точного решения
следует
г Pi 5,3156 Е
'1 - ~2п ~ 2л/2 V "Зр
(5.153)
Сравнивая это решение с (н) и (т), видим, что погрешность первого
приближения составляет примерно 3,1 %, тогда как второе приближение дает
ошибку примерно 0,075 %. Дальнейшее увеличение числа удерживаемых членов
ряда (д) необходимо только в том случае, когда вычисляются также и
частоты высших форм колебаний. Для сравнения укажем, что в случае
консольного стержня постоянного поперечного сечения, равного поперечному
сечению клина в его основании, было получено
Метод Релея-Ритца (первый метод Ритца) может применяться также и в
случаях, когда площадь F и момент инерции I поперечного сечения стержня
не являются непрерывными функциями от х. Эти функции могут иметь
несколько точек разрыва или описываться различными выражениями на
различных интервалах по длине I стержня. В подобных случаях интервал
интегрирования в выражении (з) следует разбивать на несколько интервалов,
внутри каждого из которых момент инерции I и площадь F поперечного
сечения представляются непрерывными функциями **. Метод Релея-Ритца можно
применять и в том случае, когда функции F и / представляются в
графическом или табличном виде. При этом интегралы в выражении (з)
необходимо вычислять численно.
Описанные выше расчеты гораздо легче можно выполнить с помощью второго
метода Ритцап> ***, в котором вместо рассмотрения энергетических
соотношений используется непосредственным образом дифференциальное
уравнение движения. В качестве примера рассмотрим уже известный случай
колебаний консольно закрепленного стержня постоянного поперечного
сечения, где дифференциальное уравнение для нормальных функций имеет вид
* Kirchhoff G. R. Liber die Transversalschwingungen eines Stabes von
veran-derlichen Querschnitt. - Monatsbericht der Koniglich Preussichen
Academie der Wissenschaften zu Berlin. Sitzung der physikalisch-
mathematischen Klasse, 1879, Oktober, S. 815-828.
** Примеры такого рода обсуждались в работе Traenkle A. Berechnung kri-
tischer Drehzahlen beliebiger Ordnung nach dem Verfahren von Ritz. -¦
Ingenieur-Archiv, 1930, В. 1, N. 5, S. 499-526.
*** Как уже указывалось в п. 2.3, этот метод иногда приписывается
Галеркину, но первым его ввел В. Ритц.
Pi (1,875)2о 3,5156 .VZ
(у)
2к 2л/2 2я/2 ' У Зр '
EI pFp2X = 0.
(Ф)
423
Предполагая, что стержень жестко защемлен на левом конце и не закреплен
на правом, запишем концевые условия в виде
(Х)", = 0, (-?-)"=<>.
(-&L-0. "
При использовании второго метода Ритца11 вновь возьмем функцию в форме
ряда (д). Поскольку это решение неточное, оно не будет удовлетворять
уравнению (ф) и при подстановке в левую часть равенства будет давать
отличное от нуля значение, которое представляет некоторую нагрузку Q (х),
распределенную по длине консольного стержня. Тогда значения коэффициентов
аи а2, а3, ... ряда (ж) можно получить, воспользовавшись тем условием,
что возможная работа нагрузки Q (х) на возможных перемещениях Ьуп = ба"Ф"
(х) равна нулю. В результате получаем равенства следующей формы:
i
J - РFP2X) фп(х)Лх = 0- (5-154)
о
После подстановки ряда (ж) в это равенство и после интегрирования
получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно аъ а2,
а3, ... Как и выше, частотное уравнение получаем приравниванием нулю
определителя этого уравнения.
Взяв только два члена ряда (ж), предположим, что в рассматриваемом случае
X = аг (6/2х2 - 4lx3 + х4) +
+ а2 (2013х2 - 1012х3 + х5). (ц)
Каждое из выражений, стоящих в скобках, удовлетворяет концевым условиям
(х). Первое слагаемое с точностью до постоянного множителя описывает
прогибы консольного стержня при действии равномерно распределенной
поперечной нагрузки, второе - прогибы консольного стержня при действии
распределенной поперечной нагрузки, изменяющейся по линейному закону и
принимающей нулевое значение в-месте заделки. Подставляя представление
(ц) в равенство (5.154) и выполнив интегрирование, получим
/104 рЧ* 144 \ . / 2644 рЧ4 1Л/|\ " /ч
Ыа* Г-)а1 + (^ТГ-V- 104)02 = 0; (ч)
/ 2644 рЧ1 1Л.\ . / 21,128 рЧ* 2640 \ п , ,
