Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
с).
Рис. 5.32
427
Для вертикальной нагрузки Дифференциальное уравнение длй кривой прогибов
имеет вид
EIt^r = w, (б)
где w - интенсивность распределенной поперечной нагрузки (за
положительное берется направление вверх); Е1г - жесткость при изгибе
швеллера относительно оси г.
Если нагрузка распределена вдоль центральной оси, ее всегда можно
заменить на такую же нагрузку и распределенный крутящий момент
интенсивностью wc, распределенные вдоль проходящей через центр сдвига оси
х. В подобном случае будем иметь одновременное действие изгиба,
описываемого уравнением (б), и кручения относительно оси х, проходящей
через центр сдвига. Это кручение будет неоднородным, и соотношение между
изменяющимся в зависимости от координаты х крутящим моментом Т (х) и
углом кручения ср имеет вид *
rw = *-?-k.-SE М
где R - крутильная жесткость; R1 - жесткость стесненного кручения.
Положительное направление для угла закручивания показано на рис. 5.32, б.
Оно определяется правилом правой руки. Дифференцируя выражение (в) по х и
учитывая, что положительное направление крутящего момента соответствует
показанному на рис. 5.32, а, получим
R4*-R^ = wc- (г)
Уравнения (б) и (г) определяют связь между изгибом и
кручением
тонкостенного стержня в том случае, когда статическая нагрузка
распределена вдоль центральной оси.
При колебаниях стержня необходимо учесть поперечные силы инерции **
интенсивностью - рFd2 (у - сц>)/дЕ и моменты инерции, интенсивность
которых равна - p!nd2(f/dt2, где /" - центральный полярный момент инерции
поперечного сечения. Подставляя первый из инерционных силовых факторов в
уравнения (б) и (г) вместо статических нагрузок, получим следующие
дифференциальные уравнения для совместных изгибных и крутильных
колебаний:
jjr = -(5.159а) R " Rl "IF = ~ 1*Г (У " + Р/п • (5-1596)
* См. Timoshenko S. Strength of materials. Part II. 3rd. ed. N.-Y. Van
Nostrand Co., 1956, p. 265 (опубликован перевод: Тимошенко С. П.
Сопротивление материалов. Ч. II. М.: Физматгиз, 1960, с. 214).
** Продольные силы инерции, обусловленные искажением плоской формы
поперечного сечения, здесь не учитываются.
428
Полагая, что стержень колеблется Но одной из собственных форм, положим
у = X (A cos pt + В sin pt);
Ф = Х1 (Ау cos pt + Bi sin pt), (д)
где p - круговая частота колебаний; X и XL - нормальные функции.
Подставляя выражения (д) в уравнения (5.159а) и (5.1596), получим
следующие уравнения относительно функций X и
EIZX(tm) = pFp* (X - сХ,); (е)
RiX\v - RX i = - р Fp2c(X - сХ\) -f- р/пр2Хь (ж)
В каждом конкретном случае следует отыскивать решения для функций X и Хи
которые удовлетворяли бы заданным концевым условиям для стержня, а также
уравнениям (е) и (ж).
В качестве примера рассмотрим случай стержня со свободно опертыми
концами, для которого условия на концах имеют вид
у = = ф ^ "S = 0 при х = 0 и х = /. (з)
Этим условиям удовлетворяют функции:
Xt = С; sin (inx/l); Хи = D( sin (inx/l), i = 1, 2, 3,. . ., оо, (и)
где Ci и Dt - произвольные постоянные. Подставляя эти выражения в
уравнения (е) и (ж) и используя обозначения
?V2j'4 л4 2
/4рF ~
Ri2n42 + /?ц4я4 2 . Fc2 " / .
= coKl-, --- ==Я, (к)
получим
BpUu + Fc2) ^Kl' In + Fc2
(w"I - p]) Ci - p\cDi = 0; (л)
(X/c) p\Ci + (со2,- - Pi) Di = 0. (m)
Эти уравнения могут дать решения для Сг и Dh отличные от нуля, только в
том случае, если равен нулю их определитель. Тогда частотное уравнение
можно представить в форме
(<4i - p2i) (coL- - p2i) - hp\ = о, (н)
откуда находим
"2 ("*, + <i) ± V К- - <if + 4Xo2Hi0)2KI.
Pi =--------------------------------------------- . (5.160)
Аналогичный результат будет получаться и для всех других случаев свободно
опертых стержней с одной плоскостью симметрии, которые колеблются в
плоскости, перпендикулярной плоскости симметрии.
429
Ёсли центр сдвига совпадает с центром тяжести, расстояние с -¦ = 0 и к =
0, что дает
Pi - ("& + (Ои<)/2 Ч- (<ЙК( - (йи<)/2, откуда получаем две системы
значений частот
/?1( ==(r)И!> P2i==(r)Ki- (О)
Как видно из обозначений (к), эти частоты являются частотами несвязанных
изгибных и крутильных колебаний и не зависят друг от друга. Если величина
с не равна нулю, из выражения (5.160) получаем два значения для р\, одно
из которых больше, а другое меньше значений частот (о). Для большего из
значений р\ из равенств (л) и (м) следует, что постоянные С, и D* имеют
одинаковые знаки, а для меньшего - различные. Обе соответствующие этим
случаям конфигурации представлены на рис. 5.32, виг.
Аналогичные результаты получаются и в случае стержней с иными концевыми
условиями. Решения уравнений (е) и (ж) при этом усложняются, но можно
найти приближенные значения частот связанных колебаний, если использовать
метод Релея-Ритца *. В случае стержня, не имеющего плоскости симметрии,
задача становится более сложной **. Крутильные колебания здесь сочетаются
с изгиб-ными в двух главных плоскостях, поэтому система уравнений
содержит не два, а три дифференциальных уравнения. На практике можно
